例3.2.2f(x)=√x(1-x)在闭区间0上连续。 证设x0∈(0,1)是任意一点,令n=min{x0,1-x}>0,当|x-xkn时 x∈(0,1),因而 x(1-x)-√x0(1-x0) X-x (1-x)+√x0(1-x0) x(1-x0) 对任意给定的c>0,取δ=min{n,√(1-x)},当x-xk6时,成 M (1-x)-√x0(1-x0) (1 x-xo<e 6(1-x) 所以f(x)=√x(1-x)在(O,1)上连续
例3.2.2 f (x) = x(1− x) 在闭区间[0,1]上连续。 证 设 0 x (0,1)是任意一点，令 = min { x 0 , 0 1− x } 0，当 0 | | x x − 时， x(0,1)，因而 | x(1− x) - x x 0 1 0 ( − ) | = | | ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 − − − + − x x x x x x | x − x | 0 0 0 1 x x (1 ) − | x − x | 0 。 对任意给定的 0，取 = min { ， 0 0 x x (1 ) − ｝，当 0 | | x x − 时，成 立 | x(1− x) - x x 0 1 0 ( − ) | 0 0 1 x x (1 ) − | x − x | 0 ， 所以 f (x) = x(1− x) 在(0,1)上连续
现考虑区间的端点,对任意给定的>0,取δ=E2, 则当0≤x<δ时, f(x)-f(0) /r <E 而当-δ<x-1≤0时, f(x)-f(1) <8 这说明f(x)在x=0右连续,在x=1左连续。 由此得出f(x)=√x(1-x)在闭区间[0,n上连续
现考虑区间的端点，对任意给定的 0 ，取 2 = ， 则当0 x 时， | ( ) (0) | f x f x − ； 而当− − x 1 0时， | ( ) (1) | 1 f x f x − − 。 这说明 f (x) 在 x = 0右连续，在 x =1左连续。 由此得出 f (x) = x(1− x) 在闭区间[0,1]上连续
注上述定义3.2.1至定义3.2.4可统一地表示为如下形式 设函数f(x)定义在某区间ⅹ上(x可以是开区间,闭区间或半开半 闭区间)。如果x0∈X与vE>0,3δ>0,∨x∈X(x-x<) f(x)-f(x0)<,则称函数f(x)在区间x上连续
注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式： 设函数 f (x)定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半 闭区间）。如果x0 X 与 0， 0， ( ) x X x − x0 ： ( ) − ( ) 0 f x f x ，则称函数 f (x)在区间 X 上连续
注上述定义3.2.1至定义3.2.4可统一地表示为如下形式: 设函数f(x)定义在某区间X上(X可以是开区间,闭区间或半开半 闭区间)。如果x∈X与vE>0,38>0,Wx∈X(x-x<o): f(x)-f(x)<E,则称函数f(x)在区间X上连续 例3.2.3f(x)=si在(-,+∞)上连续 证设x0∈(-0,+∞)是任意一点,由于 x X-X sin x-sin xo =2 cos SIn a≤|x-x0 对任意给定的E>0,取δ=E,当x-xnkδ时,成立 sinx-sin xo <x-xo<eo 所以f(x)=sinx在(-∞,+∞)上连续 同样可以按定义证明f(x)=cosx在(-∞,+∞)上连续
例3.2.3 f x x ( ) sin = 在 (−,+) 上连续。 证 设 x0 (−,+) 是任意一点，由于 | 0 sin sin x x − | = 0 0 2 cos sin 2 2 x x x x + − | x − x | 0 ， 对任意给定的 0，取 = ，当 0 | | x x − 时，成立 | 0 sin sin x x − | 0 − | | x x 。 所以 f x x ( ) sin = 在(−,+) 上连续。 同样可以按定义证明 f x x ( ) cos = 在 (−,+) 上连续。 注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式： 设函数 f (x)定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半 闭区间）。如果x0 X 与 0， 0， ( ) x X x − x0 ： ( ) − ( ) 0 f x f x ，则称函数 f (x)在区间 X 上连续
例3.24指数函数f(x)=a(a>0,a≠1)在(-∞,+)上连续。 证首先,对任意一点x0∈(-0,+9),有 所以证lma=a就归结为证lima'=1。 x→x t→0 若t→0+,则当a>1时,成立 因lim√a=1,由极限的夹逼性,得到 n→00 lima2=1。 t→0+
例 3.2.4 指数函数 f (x) =a x （a a 0, 1）在(−,+) 上连续。 证 首先，对任意一点x0 (−,+) ，有 x a − a x0 =a x0 ( 0 1 x x a − − )。 所以证 lim x→x0 a x =a x0 就归结为证lim t→0 1 t a = 。 若t → +0 ，则当a 1时，成立 1 t a t a 1 1 ， 因lim n→ 1 n a = ，由极限的夹逼性，得到 lim t→0+ 1 t a =