例3.1.4证明:lin sInx 证(图3.1.2)设∠AOB的弧度为x,0<x<,由于 △OAB面积<扇形OAB面积<△OBC面积, 得到 T sinx<x< tanx y 0<x< 从而 y sin x COSx< 0<x<。 C 显然上式对于-x<x<0也成立。由于 2 COSx-l=2sin B 可知 I lim cos x=1。应用极限的夹逼性,得到 SInx 图3.1.2 lin
例 3.1.4 证明： lim x→0 sin x x = 1 证 （图3.1.2）设∠AOB的弧度为 π , 0 2 x x ，由于 △OAB面积＜扇形OAB面积＜△OBC面积， 得到 sin tan x x x ， π 0 2 x 。 从而 sin cos 1 x x x ， π 0 2 x 。 显然上式对于 π 0 2 − x 也成立。由于 cos 1 x − = 2 2sin 2 x x 2 2 ， 可知 0 limcos 1 x x → = 。应用极限的夹逼性，得到 lim x→0 sin x x = 1。 y C A O B x 图3.1.2
注此极限亦可由例2.4.5的结果 sIn( at/n lin n→)00 兀/n 直接导出:对任意x∈-x,z 2八\0},一定存在正整数n,满足 n+1 由此得到 sin[/(m+1) r(n+1) n+1 sInx sin(兀/n)n+1 兀/n 当x→0时有n→∞,利用极限的夹逼性,即有 lim sinr
注 此极限亦可由例2.4.5的结果 lim n→ sin(π ) 1 π n n = 直接导出：对任意 π π , {0} 2 2 x − \ ，一定存在正整数n，满足 π π | | 1 x n n + ， 由此得到 sin[π ( 1)] π ( 1) 1 n n n n + + + sin x x sin(π ) 1 π n n n n + 。 当x → 0时有n → ，利用极限的夹逼性，即有 lim x→0 sin x x = 1
函数极限的四则运算 定理3.1.4设imf(x)=A,limg(x)=B,则 (D)lim(af(x)+Bg(x))aA+BB(a,B是常数); () lim(f(x)g(x))=AB x→>x0 8(x)B(B≠0)。 (lIlim
函数极限的四则运算 定理3.1.4 设 lim x→x0 f (x) = A, lim x→x0 g(x) = B，则 (I) lim x→x0 ( f x( ) + g x( ) )= A+ B ( ， 是常数)； (II) lim x→x0 ( f (x) g(x))=AB； (III) lim x→x0 f x g x ( ) ( ) = A B (B≠0)
函数极限的四则运算 定理3.1.4设imf(x)=A,limg(x)=B,则 (D)lim(af(x)+Bg(x))aA+BB(a,B是常数); () lim(f(x)g(x))=AB x→>x0 x08(x)=B(B≠0) (lIlim 证由imf(x)=A,可知彐a>0,Mx(0<x-xk<a): x→x0 f(x)|≤X 且E>0,3δ1>0,x(0<x-x0k) f(x)-A|<E; 再由limg(x)=B,可知彐a2>0,Mx(0<x-xk2) x→x g(x)-B
证 由 lim x→x0 f (x) = A，可知 0 0，x ( 0 0 0 | | − x x ) ： | f (x) | X ， 且 0， 1 0， x ( 0 1 0 | | − x x )： | f x A ( ) − | ； 再由 lim x→x0 g(x)=B，可知 2 0，x ( 0 2 0 | | − x x )： g x B ( ) − 。 函数极限的四则运算 定理3.1.4 设 lim x→x0 f (x) = A, lim x→x0 g(x) = B，则 (I) lim x→x0 ( f x( ) + g x( ) )= A+ B ( ， 是常数)； (II) lim x→x0 ( f (x) g(x))=AB； (III) lim x→x0 f x g x ( ) ( ) = A B (B≠0)