推论1若mf(x)=A≠0,则存在δ>0,当04x-x0kδ时,成立 x→x f(x)> 2 证由mfx)=A及(x)-A4(x)-4,可知mfx)=A4。令 g(x)= 2 由<A4及定理32,可知存在δ>0,当04x-xkδ时,成 立 (x)>
推论1 若 lim ( ) 0 0 = → f x A x x ，则存在 0，当 0 |x − x0 | 时，成立 2 ( ) A f x 。 证 由 f x A x x = → lim ( ) 0 及 f (x) − A f (x) − A ，可知 f x A x x = → lim ( ) 0 。令 2 ( ) A g x = ，由 A A 2 及定理3.1.2，可知存在 0 ,当 0 0 | | − x x 时，成 立 2 ( ) A f x
推论2若limf(x)=A,img(x)=B,且存在r>0,使得 x→ 0<|x-x0|<r时,成立g(x)≤f(x),则 B≤A 证反证法。若B>A,则由定理312,存在δ>0,当0+x- 时, g(x)>f(x)。 取n=min{δ,r},则当0<x-xkn时,既有g(x)>f(x),又有 g(x)≤f(x),从而产生矛盾
推论2 若 lim x→x0 f (x) = A， lim x→x0 g(x) = B ,且存在 r ＞0，使得当 0 | x − x0 | r 时，成立 g x( ) f (x) ,则 B A。 证 反证法。若B A，则由定理3.1.2，存在 0，当 0 0 | | − x x 时， g x( ) f (x) 。 取 = min { ，r }，则当 0 0 | | − x x 时，既有 g x( ) f (x) , 又有 g x( ) f (x) ，从而产生矛盾
推论2若limf(x)=A,img(x)=B,且存在r>0,使得 x→ 0<|x-x0|<r时,成立g(x)≤f(x),则 B≤A 证反证法。若B>A,则由定理312,存在δ>0,当0+x- 时, g(x)>f(x)。 取n=min{δ,r},则当0<x-xkn时,既有g(x)>f(x),又有 g(x)≤f(x),从而产生矛盾。 注意:既使将推论2的条件加强到当0<|x-x0|<r时,成立 g(x)<f(x),也只能得到B≤A的结论,而不能得到B<A的结论
注意：既使将推论2的条件加强到当0 | x − x0 | r 时，成立 g x( ) f (x) , 也只能得到B A 的结论，而不能得到B A 的结论。 推论2 若 lim x→x0 f (x) = A， lim x→x0 g(x) = B ,且存在 r ＞0，使得当 0 | x − x0 | r 时，成立 g x( ) f (x) ,则 B A。 证 反证法。若B A，则由定理3.1.2，存在 0，当 0 0 | | − x x 时， g x( ) f (x) 。 取 = min { ，r }，则当 0 0 | | − x x 时，既有 g x( ) f (x) , 又有 g x( ) f (x) ，从而产生矛盾
推论3(局部有界性)若imf(x)=A,则存在δ>0,使得∫(x)在 x→x O(x0,)\{x0}中有界 证取常数M与m,满足m<A<M,令g(x)=m,hx)=M为两个常 数函数,由定理3.1.2可知存在δ>0,当0<x-xk<δ时,成立 m<f(x)<M。 证毕
推论3 (局部有界性) 若 lim x→x0 f (x) = A, 则存在 0，使得 f (x) 在 ( , ) O x0 \{ x0 } 中有界。 证 取常数 M 与m，满足m A M ,令 g x m ( ) = , h(x) = M 为两个常 数函数，由定理3.1.2可知存在 0 ,当 0 0 | | − x x 时，成立 m f x( ) M 。 证毕
(3)夹逼性 定理3.1.3若存在r>0,使得当0<|x-x0|kr时,成立 g(x)≤f(x)≤h(x), 且lmg(x)=lmh(x)=A,则limf(x)=A x→>x0 证VE>0,由limh(x)=A,可知 x(o< k8) h(x)-Ak<E,从而 h(x)<A+E 由img(x)=A,可知彐2>0,x(04x-xko2):|g(x)-4kE, 从而 A-E<g(x) 取δ=min{6,62,r},x(04x-xnkδ): A (x)≤f(x)≤h(x)<A 所以 lim f(x)=A 证毕
(3) 夹逼性 定理3.1.3 若存在r 0，使得当0 | x − x0 | r时，成立 g(x) f x( ) h(x) , 且 lim x→x0 g(x)= lim x→x0 h(x) = A，则 lim x→x0 f (x) = A。 证 0，由 lim x→x0 h(x) = A，可知 1 0 , x ( 0 1 0 | | − x x )： | ( ) | h x A − ，从而 h x( ) A+ ； 由 lim x→x0 g(x) = A，可知 2 0， x ( 0 2 0 | | − x x ):| ( ) | g x A − ， 从而 A- g(x)。 取 = min { 1 2 , ,r }, x ( 0 0 | | − x x ): A− g x( ) f (x) h x( ) A+ ， 所以 lim x→x0 f (x) = A。 证毕