左导数和右导数统称为单侧导数若函数f(x)在开区间(α,b)内可导，且在左端点存在右导数，右端点存在左导数，即f(α)及f'(b)都存在，就说f(x)在闭区间[α,b]上可导函数f(x)在点x的可导的充要条件是函数f(x)在点xo的右导数和左导数都存在且相等，即f(x)= f'(xo)
左导数和右导数统称为单侧导数． 若函数 f (x) 在开区间(a,b)内可导，且在左端 点存在右导数,右端点存在左导数,即 f (a) + 及 f (b) − 都存在，就说 f (x)在闭区间[a,b]上可导． 函 数 f (x) 在 点 0 x 的可导的充要条件是函数 f (x)在点 0 x 的右导数和左导数都存在且相等，即 ( ) 0 f x + ＝ ( ) 0 f x − ．
四、导数的几何意义几何意义：Vy=f(x)f'(x)表示曲线y=f(x)1在点M(x,f(x,)处的M切线的斜率，即Oxoxf'(x)= tanα，(α为倾角)°切线方程为y-y=f(xo(x-xo)法线方程为x-x)y-o=f'x
四、导数的几何意义 o x y y = f ( x) T 0 x 几何意义： ( ) tan , ( ) , ( , ( )) ( ) ( ) 0 0 0 0 为倾角 切线的斜率 即 在点 处的 表示曲线 = = f x M x f x f x y f x 切线方程为 法线方程为 ( )( ). 0 0 0 y − y = f x x − x ( ). ( ) 1 0 0 0 x x f x y y − − = −
五、可导与连续的关系定理如果函数f(x)在xo处可导，则函数f(x)在x处连续证诊设函数f(x)在点x可导Ay%- (0)+a= f'(xo)limAr->0 △xα→0(△x → 0)Ay = f'(xo)Ar + αArlim Ay = lim[f'(x.)Ax + αAxr] = 0Ar-→0Ar-0函数f(x)在点x连续
五、可导与连续的关系 证 ( ) , 设函数 f x 在点 x0可导 lim ( ) 0 0 f x x y x = → = + ( ) x0 f x y y = f (x0 )x +x lim lim[ ( ) ] 0 0 0 y f x x x x x = + → → = 0 ( ) . 函数 f x 在点 x0连续 → 0 (x → 0) 定 理 如果函数 f (x) 在 0 x 处可导，则函数 f (x) 在 0 x 处连续．
注意：该定理的逆定理不成立如果函数在某点不连续，那么函数在该点肯定不可导。对于分段函数在分段点处的可导性一定要用导数的定义来判断
如果函数在某点不连续，那么函数在 该点肯定不可导。 注意: 该定理的逆定理不成立. ★ 对于分段函数在分段点处的可导性一 定要用导数的定义来判断。 ★