《泛函分析》第九讲，共轭空间
《泛函分析》 第九讲 共轭空间
对于任一线性赋范空间X，X的共轭空间X是Banach空问.对于每个fEX*，我们有fll= sup|f(x)lx≤1xEX对于每个xe X, 又有 IIx= sup[f(x)≤1feX*这些公式反映了线性赋范空问与它的共轭空间之问的对偶关系.作为线性赋范空问，X*也存在共轭空问间，记为X**，称X*为X的二次共轭空间，类似地还有X**等等
对于任一线性赋范空间 ， X 的共轭空间 是 Banach空间. 对于每个 ，我们有 对于每个 ，又有 X f X 1 sup ( ) . x x X f f x = X 1 sup ( ) . f f X x f x x X = 这些公式反映了线性赋范空间与它的共轭空间之 间的对偶关系.作为线性赋范空间， 也存在共轭 空间，记为 , 称 为 的二次共轭空间，类似 地还有 等等. X X X X X
Φn上线性泛函的一般形式是f(x)=axi +...+anxn, Vx =(xi,...,xn)eΦ"其中a,.,an是n个标量.不同的f对应不同的n元数组（ai，.,an）.直接计算可以求出Zla.lIl=1
上线性泛函的一般形式是 其中 是 个标量.不同的 对应不同的 元数组 直接计算可以求出 n 1 1 1 ( ) , ( , , ) . n n n n f x a x a x x x x = + + = 1 , , a an n f n 1 ( , , ). a an 1 2 2 1 n i i f a = =
若将Φn上的线性泛函f与Φn中的点a，··,an）对应起来，则(Φn)*与Φn之间可以建立一一对应，并且可以验证这种对应是到上的等距同构.这样一来,(")* 中的元素可以通过一个n数组表现. 换句话说，Φn本身就是(n）*的表现：在这种意义下，我们说：(dD")*=dDn
若将 上的线性泛函 与 中的点 对应起来，则 与 之间可以建立一一对应， 并且可以验证这种对应是到上的等距同构. 这样一 来， 中的元素可以通过一个 数组表现. 换 句话说， 本身就是 的表现. 在这种意义下， 我们说： n n f 1 ( , , ) a an n ( )n n ( )n n ( )n ( ) . n n =
定理1(7')*= 1°证明： 1)对应每个α=(α1,α2,")E 1~，定义f(x) =Zα,x, Vx =(x,) e Il.(1)n=lf是7上的线性泛函，并且[f(x)]≤Z[αnlxn/≤ suplαn/Z|xnln≥1n=ln=l
定理1 1 ( ) . l l = 证明：1) 对应每个 ，定义 1 1 ( ) , ( ) . (1) n n n n f x x x x l = = = 1 2 ( , , ) l = 是 上的线性泛函，并且 1 1 1 ( ) sup n n n n n n n f x x x = = f 1 l