切比雪夫不等式(P104) 若随机变量ξ的期望和方差存在,则对任意 >0,有 P({2-E()6/s(2(5.1) 这就是著名的切比雪夫( Chebyshev)不等式 它有以下等价的形式: P{5-E(5)k}/、D(5)
切比雪夫不等式 (P104) 若随机变量ξ的期望和方差存在，则对任意 0，有 这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式： 2 ( ) {| ( ) | } 1 . D P E 2 ( ) {| ( ) | } (5.1) D P E
切贝谢夫不等式的证明 设随机变量ξ有期望值Eξ及方差D,则任给E>0,有 P(-E|≥6)≤ DE 把概率转化 P(5-E引|<)≥1 DS 为求和 正:如果ξ是离散型的随机变量,那么 把求和因 子放大 P(-E≥)=∑P(=x) xk-E5l2E (x,-Ec (xk-E5 Ds 把求和范 xk-E5l28 围放大
设随机变量 有期望值E D , >0, 及方差 则任给 有 •切贝谢夫不等式的证明: 2 ( ) 1 D P E 2 ( ) D P E 证:如果ξ是离散型的随机变量,那么 ( ) ( ) k k x E P E P x 把概率转化 为求和 把求和因 子放大 把求和范 围放大 2 2 2 2 2 ( ) ( ) k k k k k x E k x E x E D P p
例1设随机变量ξ的数学期望Eξ=μ,方差Dξ 则由切贝谢夫不等式有 P{5≥3} 解:根据切贝谢夫不等式 Pil E()Es(5) P{5-23o/s、D2 (30)29a29 P{5-≥3} 9
例1设随机变量ξ的数学期望Eξ=μ，方差Dξ= σ2 则由切贝谢夫不等式有 解：根据切贝谢夫不等式 P{ - 3 } 2 ( ) {| ( ) | } ; D P E 2 2 2 D 1 P{ - 3 } = = (3 ) 9 9 1 P{ - 3 } 9
例2设ξ是掷一颗骰子所出现的点数若给定 E=12,实际计算P(5E引|≥6) 并验证切贝谢夫不等式成立 解:因为ξ的概率函数是P(=k)=1/6(k=1,2,…6) 所以→E2=7/2 DE=35/12 P(|2-7/2|>1)=2/3 P(|2-7/2|>2)=P(2=1)+P(2=6)=1/3 E=1:D/82=35/12>2/3 E=2:D8/82=1/4×35/12=35/48>1/3 可见,ξ满足切贝谢夫不等式 P{|-E(5)s} D(2)
所以 1,2,实际计算P( -E ) 例2 设ξ是掷一颗骰子所出现的点数,若给定 并验证切贝谢夫不等式成立. 解:因为ξ的概率函数是P k k ( ) 1/ 6( 1, 2, 6) Eξ=7/2 Dξ=35/12 P(│ξ-7/2│≥1)=2/3 P(│ξ-7/2│≥2)=P(ξ=1)+P(ξ=6)=1/3 ε=1: Dξ/ε2=35/12>2/3 ε=2: Dξ/ε2=1/4×35/12=35/48>1/3 可见,ξ满足切贝谢夫不等式. 2 ( ) {| ( ) | } ; D P E
例3设电站供电网有1000电灯,夜晚每一盏电 灯开灯的概率都是0.7,而假定开关时间彼此独立, 估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概 →解:令E表示在夜晚同时开着的灯的数目,它服从参 数n=1000,p=0.7的二项分布.若要准确计算,应该 用贝努里公式 7199 k=680710001×0.7×0.31000k P(6800<5×7200}=>Cb 如果用切贝谢夫不等式估计 E=np=10000×0.7=7000 D E=npg=2100 P6800<5<7200}=P{5-700020022100 2002≈0.95
例3 设电站供电网有10000盏电灯,夜晚每一盏电 灯开灯的概率都是0.7,而假定开关时间彼此独立, 估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概 率. 解:令ξ表示在夜晚同时开着的灯的数目,它服从参 数n=10000,p=0.7的二项分布.若要准确计算,应该 用贝努里公式: 如果用切贝谢夫不等式估计: Eξ=np=10000×0.7=7000 Dξ=npq=2100 P{6800 7200} P{6800 7200} 2 2100 =P{ -7000 200} 1- 200 0.95 7199 k k 10000 k 10000 k=6801 = C 0.7 0.3