山东理工大学：《高等代数》课程教学资源（教案）第七章 线性变换

A8=0-8+1A8+0.A2++0.A-E A(AE)上0-6+0.A8+1.A26++0.A-6 A(A-)=0-E+0.A+0.A2e++0A 故A在这组基下的矩阵为 0 10 1. .0 10 12.设V是数域P上的维线性空间，证明：V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘 变换 证因为在某组确定的基下，线性变换与n级方阵的对应是双射，而与一切级方阵可交换的 方阵必为数量矩阵kE,从而与 切线性变换 交换的线性变换必为数乘变换 13.A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果A在任意一组基下的矩阵都 相同，那么是数乘变换 证设A在基下61,62，6。的矩阵为A-(a),只要证明A为数量矩阵即可设X为任一非 退化方阵，且 (h1,2,1n61,62,.,5n)X 则，2，也是V的一组基，且A在这组基下的矩阵是X~AX,从而即有AX=XA,这说明A 与一切非退化矩阵可交换 若取 1 2 X,= 则由AX,=X,A知ay=0(i≠j),即得 A= 再取

11 A  = 0 +1 A + 0 A  2 + + 0 A  n−1 A(A  )= 0 + 0  A  + 1 A  2 + + 0 A  n−1 . A（A  n−1 ）= 0 + 0  A  + 0  A  2 + + 0 A  n−1 故 A 在这组基下的矩阵为                 1 0 0 1 1 0 0   12． 设 V 是数域 P 上的维线性空间，证明：V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘 变换. 证 因为在某组确定的基下,线性变换与 n 级方阵的对应是双射,而与一切 n 级方阵可交换的 方阵必为数量矩阵 kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换 K. 13. A 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个线性变换,证明：如果 A 在任意一组基下的矩阵都 相同,那么是数乘变换. 证 设 A 在基下 n  , , , 1 2  的矩阵为 A=( ij a ),只要证明 A 为数量矩阵即可.设 X 为任一非 退化方阵,且 (   n , , 1 2 )=( n  , , , 1 2  )X 则   n , , 1 2 也是 V 的一组基,且 A 在这组基下的矩阵是 X AX −1 ,从而即有 AX=XA,这说明 A 与一切非退化矩阵可交换. 若取               = n X  2 1 1 则由 A X1 = X1 A 知 ij a =0(i  j),即得 A=               ann a a  22 11 再取

010.0 001.0 X2. 000.1 100.0 由AX2=XA,可得 411=a22="=0a 故A为数量矩阵，从而A为数乘变换 14,设6,6,6,6，是四维线性空间V的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩阵为 1021 -1213 1255 2-21-2 )求A在基=6-22+64,乃=36-6-64，乃=6+64，4=264下的矩阵 2)求A的核与值域： 3)在A的核中选一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵： 4)在A的值域中选一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵 解1)由题设.知 (1000 -2300 (71,72,73,n4)只61,62,63,84) 0-110 1-112 故A在基几，2，下的矩阵为 000 10 21)(1 00 0 X-AX -2300 -1213 -230 0 -110 1255 0 -110 1 -112 (2-21-2 1-112 3 3830 6 21 2)先求A(0).设5∈A(0),它在6,52,53,6下的坐标为么，2X3,X4),且在A5

12 X2 =                 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0          由 A X2 = X2 A,可得 a11 = a22 == ann 故 A 为数量矩阵,从而 A 为数乘变换. 14.设 1 2 3  , , , 4  是四维线性空间 V 的一组基,已知线性变换 A 在这组基下的矩阵为               − − − 2 2 1 2 1 2 5 5 1 2 1 3 1 0 2 1 1) 求 A 在基 1 1 22 4  =  − + , 2 2 3 4 3 3 4 4 2 4  = 3 − − , =  +  , =  下 的矩阵; 2) 求 A 的核与值域; 3) 在 A 的核中选一组基,把它扩充为 V 的一组基,并求 A 在这组基下的矩阵; 4) 在 A 的值域中选一组基, 把它扩充为 V 的一组基, 并求 A 在这组基下的矩阵. 解 1)由题设,知 ( 1 2 3 4  , , , )=( 1 2 3  , , , 4  )               − − − 1 1 1 2 0 1 1 0 2 3 0 0 1 0 0 0 故 A 在基 1 2 3 4  , , , 下的矩阵为 B= X AX −1 = 1 1 1 1 2 0 1 1 0 2 3 0 0 1 0 0 0 −               − − −               − − − 2 2 1 2 1 2 5 5 1 2 1 3 1 0 2 1               − − − 1 1 1 2 0 1 1 0 2 3 0 0 1 0 0 0 =                 − − − − − 0 1 7 8 3 40 3 40 3 16 3 8 3 10 3 10 3 4 3 2 2 3 3 2 2) 先求 A −1 (0).设   A −1 (0),它在 1 2 3  , , , 4  下的坐标为(  1 , 2 3 4  ,  ,  ),且在 A 