第之节 第九章 多元蓝数微分学的儿何应用 、一元向量值函数及其导数 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面 第六节 一、一元向量值函数及其导数 三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章
一、 一元向量值函数及其导数 引例：已知空间曲线的参数方程： x=0(t) y= w(t) t∈[a,β] z=0(t) 记7=(x,y,z),f()=(p(1),w(t),o(t) T的向量方程：7=f(),1∈[a,] 此方程确定映射f:Iα，β]→R,称此映射为一元向量 值函数， 对T上的动点M,显然=OM,即T是r的终点M 的轨迹，此轨迹称为向量值函数的终端曲线 要用向量值品数研究曲孩的莲猿性和光滑性，就需要引进向 量值画数的极限、连续和导数的概念 HIGH EDUCATION PRESS O0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、一元向量值函数及其导数 引例: 已知空间曲线 的参数方程: [ , ] ( ) ( ) ( ) = = = t z t y t x t 记 r = (x, y,z), f (t) = ((t),(t),(t)) 的向量方程： r = f (t), t [,] M r x z O y 对 上的动点M , 即 是 此方程确定映射 3 f :[,]→ R ,称此映射为一元向量 显然r = OM， r 的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 . 值函数. 要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向 量值函数的极限、连续和导数的概念
定义1：给定数集DcR,称映射f:D→R”为一元向量 值函数（简称向量值函数），记为 定义域 7=f(t),1∈D 因变量 自变量 0 定义2：设f(t)=(f(t),f2(t),f3(t),t∈U(o), O∈R3 若V8>0,38>0,使得当0t-toKδ时，有|f(t)-0K8, 则%称为f(t)当t→to时的极限，记作 imf)=元或fa)→元，t→0 注：极限：mf(=mf(,1m(,m/》 t 连续：limf0)=f, HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义1: 给定数集 D R , 称映射 n f : D → R 为一元向量 值函数（简称向量值函数）, 记为 r = f (t), t D 定义域 因变量 自变量 注：极限： 连续： lim ( ) (lim ( ), lim ( ), lim ( )) 1 2 3 0 0 0 0 f t f t f t f t t→t t→t t→t t→t = lim ( ) ( ) 0 0 f t f t t t = → 定义2: 设 3 0 0 0 1 2 3 f (t) = ( f (t), f (t), f (t)), t U(t ), r R 0, 0, 0 | | | ( ) | , 0 0 若 使得当 t −t 时，有 f t − r 则r0 称为 f (t)当t → t 0 时的极限，记作 0 0 0 lim ( ) ( ) , 0 f t r f t r t t t t = → → → 或
定义3：设 f(u),teU(o)。 若lim △r lim 7o+△)-2存在 t->to△t t→to △t 则此极限称为f(t)在to处的导数或导向量，记作 (o)或 di t=to 注：导数：f()=(f'(t),f2'(1),f3'() HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义3: 设 ( ), ( ), 0 f t t U t 若 存在 t f t t f t t r t t t t + − = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 则此极限称为 f (t)在t 0 处的导数或导向量，记 作 0 '( ) 0 t t dt dr f t = 或 注：导数： '( ) ( '( ), '( ), '( )) 1 2 3 f t = f t f t f t
向量值函数的导数运算法则：P94) 设，下是可导向量值函数，C是常向量，c是任一常数 (t)是可导函数，则 (ac-o (2)[ci(u]=ci() (3)d[i0)±】=()士(0) (4)↓Lp)i】=p'(u)i0）+p()i() (5)0)=)0)+) (6)母，[i)×】=0x0)+)x0 (7) p(t]=p'(a)Lo(t)] d t HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数的导数运算法则: (P94) 设 u, v 是可导向量值函数, (t) 是可导函数, 则 C O t = d d (1) (2) [ ( )] ( ) d d cu t c u t t = (3) [ ( ) ( )] ( ) ( ) d d u t v t u t v t t = (4) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) d d t u t t u t t u t t = + (5) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) d d u t v t u t v t u t v t t = + (6) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) d d u t v t u t v t u t v t t = + C 是常向量, c 是任一常数, (7) ( ) ( ) ( ) d d u t t u t t =