山东理工大学：《高等代数》课程教学资源（教案）第七章 线性变换

0 所以A在基60，G,6下的矩阵为A 4)因为D6=a6-b82, D62=b61-a62,66 D8,=6taE,-b64 De,=E2+bE怕e4 D85=63ta85-b86, DEs=5+bEs+aEs (ab1000 -ba0100 00 ,所以D在给定基下的矩阵为D= a b 1 00-ba01 0000ab (0000-ba -110 5)因为(1，n2,n6,62,6)101所以 1-11 (-11-1） (662,6Hn,n)01-1(n,n2,3X, 101 故A在基6,62,6下的矩阵为 -103) 6)因为，(，6,01-1 (210 6

6 ，所以 A 在基 0  , 1  ,, n−1  下的矩阵为 A=                 0 1 0 1 0 1    ， 4）因为 D 1  =a 1  -b 2  , D 2  =b 1  -a 2  , 6  D 3  = 1  +a 3  -b 4  , D 4  = 2  +b 3  +a 4  , D 5  = 3  +a 5  -b 6  , D 6  = 4  +b 5  +a 6  ，所以 D 在给定基下的矩阵为 D=                     − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 b a a b b a a b b a a b ， 5）因为( 1 ,2 , 3 )=( 1  , 2  ， 3  )           − − 1 1 1 1 0 1 1 1 0 ，所以 ( 1  , 2  ， 3  )=( 1 ,2 , 3 )           − − − 1 0 1 0 1 1 1 1 1 =( 1 ,2 , 3 )X， 故 A 在基 1  , 2  ， 3  下的矩阵为 B=X −1 AX=           − − 1 1 1 1 0 1 1 1 0           −1 2 1 1 1 0 1 0 1           − − − 1 0 1 0 1 1 1 1 1 =          − − 3 0 2 2 2 0 1 1 2 . 6）因为( 1 ,2 , 3 )=( 1  , 2  ， 3  )           − − 2 1 0 0 1 1 1 0 3

(-103 所以4n,2,3)=461,626)01-1 (210 (-50-5 但己知A(h,2,6,62,6)0-1-1故 (36 9 (-50 -5-103 A(8,62,63(6,62,630-1 -101-1 (369八210 (-1 -3 (-50 -5 (6,62,6)0-1-1 3 6 9 72-727 7671-7 71717 520 -20 > -(61,62,63) 17 5718 274 7 7)因为E,8,6n,.01-1 210 -103）-50-5 所以，乃，01-1 0 -1-1 (210（369 (235) (%,)-10-1 -110 8.在P0中定义设性变费4，N仁）4：N-）4, c d e 求A1,A2,A3在基E1,E2,E21,E2下的矩阵

7 所以 A( 1 ,2 , 3 )=A( 1  , 2  ， 3  )           − − 2 1 0 0 1 1 1 0 3 , 但已知 A( 1 ,2 , 3 )=( 1  , 2  ， 3  )           − − − − 3 6 9 0 1 1 5 0 5 故 A( 1  , 2  ， 3  )=( 1  , 2  ， 3  )           − − − − 3 6 9 0 1 1 5 0 5           − − 2 1 0 0 1 1 1 0 3 −1 =( 1  , 2  ， 3  )           − − − − 3 6 9 0 1 1 5 0 5                 − − − 7 1 7 1 7 2 7 1 7 6 7 2 7 3 7 3 7 1 =( 1  , 2  ， 3  )                 − − − − − 7 24 7 18 7 27 7 2 7 5 7 4 7 20 7 20 7 5 7）因为( 1  , 2  ， 3  )=( 1 ,2 , 3 )           − − 2 1 0 0 1 1 1 0 3 −1 所以 A( 1 ,2 , 3 )=( 1 ,2 , 3 )           − − 2 1 0 0 1 1 1 0 3 −1           − − − − 3 6 9 0 1 1 5 0 5 =( 1 ,2 , 3 )           − − − 1 1 0 1 0 1 2 3 5 。 8 ． 在 P 22 中 定 义 线 性 变 换 A 1 (X)=         c d a b X, A 2 (X)=X         c d a b , A 2 (X)=         c d a b X         c d a b , 求 A 1 , A 2 , A 3 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵

解因 A Eu=a Eu+cE12 4 En=a En2+c E22 A E21-bEu+dE2,4 E22-bE21+d E22 故A,在基E,E2,E2,E2下的矩阵为 a 0 b o c o d 又因 42 Eu=a Eu+b En42 En2=cEn+dE12 42E21-aE21+bE2242 E22-cE21+d E22 故A,在基E1,E2,E21,E2下的矩阵为 a c o 0 s88: (00bd 又因 A3 Eu=a*Eu+abE j2+acE2+bcE22 E2acEu+adEE2+cdE2 4;E21=abEu+b2E12+adE2 +bdE22 A:E2 =bcE+bdE2+cdE2+d2E 故A,在基E1,E12,E21,E2下的矩阵为 (az ac ab be 43= ab ad b bd ac c ad ed be ed bd d? 9.设三维线性空间V上的线性变换A在基6,62,6，下的矩阵为

8 解 因 A 1 E 11 =a E 11 +cE 12 , A 1 E 12 =a E 12 +c E 22 , A 1 E 21 =bE 11 +dE 21 , A 1 E 22 = bE 21 +d E 22 , 故 A 1 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵为 A 1 =               c d c d a b a b 0 0 0 0 0 0 0 0 又因 A 2 E 11 =a E 11 +b E 12 , A 2 E 12 = cE 11 +dE 12 , A 2 E 21 = aE 21 +bE 22 , A 2 E 22 = cE 21 +d E 22 , 故 A 2 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵为 A 2 =               b d a c b d a c 0 0 0 0 0 0 0 0 又因 A 3 E 11 = a 2 E 11 +abE 12 +acE 21 +bcE 22 A 3 E 12 = acE 11 +adE 12 +c 2 E 21 +cdE 22 A 3 E 21 = abE 11 +b 2 E 12 +adE 21 +bdE 22 A 3 E 22 = bcE 11 +bdE 12 +cdE 21 +d 2 E 22 故 A 3 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵为               = 2 2 2 2 3 bc cd bd d ac c ad cd ab ad b bd a ac ab bc A 9.设三维线性空间 V 上的线性变换 A 在基 1 2 3  , , 下的矩阵为

au an a A-da dn dz as as as) 1)求A在基63,62,6，下的矩阵： 2)求A在基6，k纪2,6下的矩阵其中且 3)求A在基6，+52,62,5，下的矩阵 解1)因 A83=ag63ta2352+a361 AE3■a3283+a282+a1261 Ae,=a63+a282+a6 故A在基6,62,6，下的矩阵为 ass as an B,=a3a2a21 2)因 A6=a+21(,)+6 A(kE2)=-k aE+az(kE2)+kaE A6,=au+2(kc,片a,6 故A在6，ks2,6,下的矩阵为 （a1ka2as 3)烟 6+62a1+a2+63Ha21+a22-a1-a)82+Ha1+a2)63

9 A=           31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 1) 求 A 在基 3 2 1  , , 下的矩阵; 2) 求 A 在基 1 2 3  , k , 下的矩阵,其中且; 3) 求 A 在基 1 2 2 3  +  , , 下的矩阵. 解 1)因 A 3  = 33 3 a  +a 23 2 + 13 a 1  A 2  = a32 3 + a22 2 + 12 1 a  A 1  = a31 3 + a21 2 + 11 1 a  故 A 在基 3 2 1  , , 下的矩阵为           = 13 12 11 23 22 21 33 32 31 3 a a a a a a a a a B 2)因 A 1  = 11 1 a  + ( 2 ) + 21 k k a 31 3 a  A(k 2  )= k 12 1 a  + ( ) 22 2 a k + 32 3 ka  A 3  = 13 a 1  + k a23 ( 2 k )+ 33 3 a  故 A 在 1 2 3  , k , 下的矩阵为             = 31 32 33 23 22 21 11 12 13 2 a ka a k a a k a a ka a B 3)因 A( 1 2  +  )=( a11 + a12 )( 1 3  +  )+( a21 + a22 − a11 − a12 ) 2  +( a31 + a32 ) 3 

A2=az(6+E2H(a2-a)62+a2E A63=a3(61+E2Ha2g-a3)2+a3353 故A基6+2，E2,6,下的矩阵为 41-a12 412 B3=aa+az-an-an az-d2 aa-dis a31+a3 10.设A是线性空间V上的线性变换，如果A~￡≠0，但Aε=-0，求证 8,A8,A-s(k>0)线性无关 证设有线性关系 l,e+2Ae+.+lkA-e=0 用A-作用于上式得 1A-E=0(因A”6=0对一切n≥k均成立) 又因为A-ε≠0，所以1=0，于是有 12A8+1342+.+1A-=0 再用A2作用之得12A-￡-0.再由，可得12=-0.同理，继续作用下去，便可得 1=l3=.=4=0 即证6，A,A(k>0)线性无关 11.在n维线性空间中，设有线性变换A与向量6使得A-￡≠0但，求证A在某组下的矩阵是 (0 10 1. .0 10 证由上题知，6，A6A6，A线性无关，故6，A6,A，A6为线性空间 V的一组基又因为 0

10 A 2  = 12 a ( 1 2  +  )+( a22 − a12 ) 2  + 32 3 a  A 3  = 13 a ( 1 2  +  )+( a23 − a13 ) 2  + 33 3 a  故 A 基 1 2 2 3  +  , , 下的矩阵为           + + − − − − − = 31 32 32 33 21 22 11 12 22 12 23 13 11 12 12 13 3 a a a a a a a a a a a a a a a a B 10. 设 A 是线性空间 V 上的线性变换,如果 A  k−1  0,但 A  k =0,求证  ,A  , , A  k−1 ( k >0)线性无关. 证 设有线性关系 0 1 1 + 2 + + = −    k l l A  l k A 用 A k−1 作用于上式,得 1 l A  k−1 =0(因 A  = 0 n 对一切 n  k 均成立) 又因为 A  k−1  0,所以 l 1 = 0 ,于是有 0 2 1 2 + 3 + + = −    k l A l A  l k A 再用 A k−2 作用之,得 2 l A  k−1 =0.再由,可得 2 l =0.同理,继续作用下去,便可得 l 1 = l 2 == l k = 0 即证  ,A  , , A  k−1 ( k >0)线性无关. 11.在 n 维线性空间中,设有线性变换 A 与向量  使得 A  n−1  0 但,求证 A 在某组下的矩阵是                 1 0 0 1 1 0 0   证 由上题知,  ,A  ,A  2 , , A  n−1 线性无关,故  ,A  ,A  2 , , A  n−1 为线性空间 V 的一组基.又因为