例1)求积分1=∫+)达，其中l:x=Rcos1,y=Rsim,(从0→ 例2)(200页—3(2)) 例3)(P196-198例1-4) 四、两类曲线积分的关系 ∫Pdk+O=∫(Pcosa+QcosB)dk 即∫Pa∫Peosads,.-∫QeosBds: 或Pw-jQh=j品*： 其中：csa-密。os月-密为曲钱上点(c列处的切向量的方向余弦。 dk=V)+()2 若曲线方程为：y=则oa+o月“0 例4)化积分1=∫2+y为对弧长的曲线积分得1=一 (其中：1仿程为=x2,0≤x≤1) 类似地，「Pk+Q+Rdt=∫(Pcosa-+QcosB+Rcosy)d达 其中：Qoa密csB-会。oy-装为商线r上点(x处的切向量 的方向余弦，西=V(+(+(d) 作业：(200-201页-3(4)、(5)、(6)；73)题)
6 例 1） 求积分 , : cos , sin ,( 0 ) 2 l I xdy ydx l x R t y R t t = + = = → 其中 从 例 2）（200 页-3（2）） 例 3）（P196~198 例 1-4） 四 、两类曲线积分的关系 ( cos cos ) l l Pdx Qdy P Q ds + = + 即 cos , cos l l l l Pdx P ds Qdy Q ds = = ； 或 , cos cos l l l l P Q Pds dx Qds dy = = ； 其中： cos ,cos , ( ) dx dy l x y ds ds = = 为曲线 上点 处的切向量的方向余弦； ( ) ( ) 2 2 ds dx dy = + 若曲线 2 2 1 (y ) ,cos 1 (y ) 1 y f(x), cos + = + = = y 方程为： 则 例 4）化积分 I = 2 2 l xydx xy dy + 为对弧长的曲线积分得 I = - （ 2 其中：l y x x 方程为 = ,0 1 ） 类似地， Pdx Qdy Rdz P Q R ds ( cos cos cos ) + + = + + 其中： cos ,cos ,cos , , ( ) dx dy dz x y z ds ds ds = = = 为曲线 上点 处的切向量 的方向余弦， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ds dx dy dz = + + 作业：（200-201 页-3(4)、(5)、（6）；7(3)题）
§1-3格林公式及其爱用 一、格林公式(green fermula) 设分段光滑的有向线闭曲线L是有界闭区域D的正向边界， p(k,y)小、Q(x,y)在D上具有一阶连续的偏导数，则有下列-格林 公式： 器-器-r+ D （解析一正向边界的概念) 证明：fPh=-写，（设D域为X型证） ②f0=兴，（设D歧为型证） (过程略一一详见讲义)
7 §11-3 格 林 公 式 及 其 应 用 一 、格林公式（green fermula） 设分段光滑的有向线闭曲线 L 是有界闭区域 D 的正向边界， p(x,y)、Q(x,y)在 D 上具有一阶连续的偏导数，则有下列-格林 公式： = + − D L dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) （解析-正向边界的概念） 证明：⑴ L D P Pdx dxdy y = − ，（设D域为X型证） ⑵ L D Q Qdy dxdy x = ，（设D域为Y型证） （过程略-详见讲义） D
格林公式的意义： 1表明了曲线积分与二重积分的关系： (2给出了计算曲线积分的一个重要公式 3简单应用y=fd(或)=fdw或)=手x-达 例1)（204页-例1) 应用格林公式求曲线积分时应注意： ()分清P(,y,Q(x,y)哪一个？(2)积分曲线L为闭的正向曲线：若1 为非闭曲线，则应作辅助线变为闭的正向曲线，才能用此式求积 分，最后减去所作的辅助线上的积分值，即 ∫Pt+Q=∮Pt+Qy-∫Pt+Q 畏-e 注：所作的辅助线一一L,一般为平行坐标轴的直线 例2)求积分1=手yΨ-xd杰，L:x2+y2=d2（正向曲线) 例3)(P214习题5(4)) 例4)(204-204页-例3、4) 二、平面曲线积分与积分路径无关的条件：（206页) 设P(k,y),Q(y)在单连通域G内有一阶连续的偏导数， 则积分 ④P法+Q呦在G内与路径L无关台②架-x列e6 ax (或)③fP+Q=0(C为G内任一闭曲线） (或)④在G内存在u飞，y)使得：dx,y)=P(x,y)k+Q(x,y)d (①④命题等价) 例5)(P214-习题41) 三、全微分的准则，原函数的求法
8 格林公式的意义： = = = − D L L L xdy ydx ⑴ 2 1 ⑶ dxdy xdy( - ydx( ⑵ 简单应用： 或） 或） 给出了计算曲线积分的一个重要公式； 表明了曲线积分与二重积分的关系； 例 1） （204 页-例 1） 应用格林公式求曲线积分时应注意： ⑴分清 P(x,y),Q(x,y)哪一个？⑵积分曲线 L 为闭的正向曲线；若 L 为非闭曲线，则应作辅助线变为闭的正向曲线，才能用此式求积 分，最后减去所作的辅助线上的积分值，即 L L L L i i Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy + + = + − + = D Li Q P dxdy Pdx Qdy x y − − + 注： 所作的辅助线- Li 一般为平行坐标轴的直线 例 2） 2 2 , L I xy dy yx dx = − 求积分 2 2 2 L x y a : + = （正向曲线） 例 3）（P214~习题 5（4）） 例 4）（204-204 页-例 3、4） 二 、平面曲线积分与积分路径无关的条件：（206 页） 设 P(x,y),Q(x,y)在单连通域 G 内有一阶连续的偏导数， 则积分 ① + L Pdx Qdy 在 G 内与路径 L 无关 ② x y G y P x Q = ( , ) (或)③ Pdx Qdy 0(C为G内任一闭曲线 c + = ） (或) ④ 在 G 内存在 u(x,y)使得： du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy （①~④命题等价） 例 5）（P214-习题 4(1)） 三 、全微分的准则，原函数的求法