分法：第二类换元积分法也叫变量置换法。 4.2.1凑微分法 【板演】例1计算不定积分[cos3x 【分析】被积函数是复合函数c0s3x=cosu,而中间变量u=3x且 du=d(3x)=3dx。显然，被积表达式中缺少常数3，故可改变被积表达式 的系数凑出中间变量的微分，即cos3xdx=cos3x·3 dx=cos udu。 由4.1知： ∫os3h凑微分cos3x-3h著 du=3dx 3 r3t∫cosudu=3sinu+c 回代1 in3x+C M=3x3 【复演1例2计算不定积分∫，2小 【分析】技积函数是复合函数十2：7 1=1,而中间变量u=1+2x且 du=d(1+2x)=2dk。显然，应在被积表达式中改变系数凑出中间变 1 量的微分，即： 1+2x=21+2 ,凑微分1「12水 接元=a0ap+c 做+22本=d21+2r1+22 回代1 In1+2x+C u=1+2x2 【讲解】定理1 如果∫f(x)dk=F(x)+C则∫f()du=F(u)+C 6
6 分法；第二类换元积分法也叫变量置换法。 4.2.1 凑微分法 【板演】例 1 计算不定积分 cos3xdx 【分析】 被积函数是复合函数 cos3x=cosu,而中间变量 u=3x 且 du=d(3x)=3dx。显然，被积表达式中缺少常数 3，故可改变被积表达式 的系数凑出中间变量的微分，即 = 。 由 4.1 知： 1 1 1 cos 3 cos 3 3 cos sin 3 3 3 3 3 1 sin 3 3 3 xdx x dx udu u C du dx x u x C u x = + = = + = 凑微分 换元 回代 【板演】例 2 计算不定积分 1 1 2 dx + x 【分析】被积函数是复合函数 1 1 1 2x u = + ，而中间变量 u x = +1 2 且 du d x dx =+= (1 2 2 ) 。显然，应在被积表达式中改变系数凑出中间变 量的微分，即 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 dx dx du x x u = = + + ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 ln ln 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 ln 1 2 1 2 2 dx dx du d u u C x x u dx du x u x C u x = = + + + = + = + + = + 凑微分 换元 故 回代 【讲解】定理 1 f x dx F x C f u du F u C ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + 如果 则
其中u=(x)是x的任意可微函数。 【板演】推论若f()du=F(u+C且u=(x)可微，则有 ∫f[(x)]p'(x)dk凑微分∫f[(x)]d(x) 换元 (x)=u f(u)du =x)+ 回代 F[(x)]+C .(1 u=(x) 上述(1)式通常也叫第一类换元积分公式。 【讲解】这种先将不定积分被积表达式中分解出的'(x)d山凑成微分 d(x),再作变量代换(x)=u,将原不定积分转化为利用基本积分 公式容易计算的积分「f():,这种方法就叫凑微分法，也叫第一类 换元积分法。 【讲解】注意由定理1可知：将基本积分公式中的积分变量换成任 意一个可微函数，公式仍成立。例如将「cosxdx=sinx+C中积分变 量x换做可微函数3+5x2,则有 「cos(3+5x2)d(3+5x2)=sin(3+5x2)+C 【学生板演】例3计算不定积分「(3x+8)'d 7
7 其中u x x =( )是 的任意可微函数。 【板演】 推论 若 f u du F u C ( ) ( ) = + 且 u x = ( ) 可微，则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] (1) ( ) f x x dx f x d x f u du x u F x C F x C u x = = + + = 凑微分 换元 回代 上述（1）式通常也叫第一类换元积分公式。 【讲解】这种先将不定积分被积表达式中分解出的 ( ) x dx 凑成微分 d x ( ) ，再作变量代换 ( ) x u = ，将原不定积分转化为利用基本积分 公式容易计算的积分 f u du ( ) ，这种方法就叫凑微分法，也叫第一类 换元积分法。 【讲解】注意 由定理 1 可知：将基本积分公式中的积分变量换成任 意一个可微函数，公式仍成立。例如将 cos sin x dx x C = + 中积分变 量 x 换做可微函数 2 3 5 + x ，则有 ( ) 2 2 2 cos 3 5 (3 5 ) sin (3 5 ) + + = + + x d x x C 【学生板演】例 3 计算不定积分 3 (3 8) x dx +