《热学热力学与统计物理》课程教学资源（教材讲义，下）习题参考答案（1-2）

当，在器壁上时，一F就是第s个分子施加在器壁上的力。对这个力求和，再求平均，即得到气体施加在器壁上的压强p，因此，Zr,.F,=fr.(-pn)dz=-pJ[fv.rdV=-3pvs=13N34NauZqX,-+ZF由此得到：24台iaqi5=l3NauPV=NKT-1OUia.即-3NkT=3pV，或329diaqi2.7设一维振子系统处于温度为T的平衡态，振子的势能u=ax4a为常数，试根据维里定律和能量均分定理求振子的平均能量。Ou解：振子的自由度N=1，作用在振子上的力X=-4ax，按照维里定理有axxx=-4ax=-4u=-kT1kT。所以振子的平均能量为u=kT。根据能量均分定理振子的平均动能&=242kT.=o+u=42.8在狭义相对论中，质量为m质点的动量和能量分别为mv,(i= x, y,2)P, =/i-(ve)mc2J1-(v)其中c是光速，V=1++是质点的速率。证明由麦克斯韦一玻尔兹曼分布给出1m232=kT21-(%解：在相对论中粒子的能量为=pc+mc=c/p+p+p+(mc)pcpc-myLp.p881-v?i=l麦克斯韦一玻尔兹曼分布率为(P)=Ce-Pc(P)，因此

当 s r 在器壁上时，−F s 就是第 s 个分子施加在器壁上的力。对这个力求和，再求平均，即得 到气体施加在器壁上的压强 p，因此， ( ) 1 3 N s s s r F r pn d p rdV pV =   =  −  = −  = −   由此得到： 3 3 1 1 1 . N N N i i i s s i i s i U q X q r F = = = q  = − +     即 3 1 3 3 N i i i U NkT q pV = q  − = − −   ，或 3 1 1 3 N i i i U pV NkT q = q  = −   。 2.7 设一维振子系统处于温度为 T 的平衡态，振子的势能 4 u ax a = , 为常数，试根据维里定 律和能量均分定理求振子的平均能量。 解：振子的自由度 N=1，作用在振子上的力 3 4 u X ax x  = − = −  ，按照维里定理有 4 xX ax u kT = − = − = − 4 4 1 4 u kT = 。根据能量均分定理振子的平均动能 1 2 k  = kT 。所以振子的平均能量为 3 4 k   = + = u kT 。 2.8 在狭义相对论中，质量为 m 质点的动量和能量分别为 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , , 1 1 i i mv p i x y z v c mc v c  = = − = − 其中 c 是光速， 2 2 2 x y z v v v v = + + 是质点的速率。证明由麦克斯韦－玻尔兹曼分布给出 ( ) 2 2 1 3 2 2 1 mv kT v c = − 解：在相对论中粒子的能量为 ( ) 2 2 2 2 4 2 2 2 1 2 3  = + = + + + p c m c c p p p mc 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 i i i i i c p c p mv p p v c  = =    = = =  −   麦克斯韦－玻尔兹曼分布率为 ( ) ( p) f p Ce− = ，因此

00ase-βdpPDop,ap,dsde其中积分：dp, = kTap,opds=kT8.C[0-P将此式代入，得：edp=kTo,Piop;-Smas由此可得：KT2层ap,22.9假设一个角动量为J的磁矩沿磁场H方向的分量可取任意一个分立值gHsm，其中，m=J,J-1-J+1-J，J为角动量量子数，m为磁量子数，g为旋磁比。磁矩之间的相互作用可以忽略不计。试计算单位体积内含有n个磁矩的物体的磁化强度M；计算在高温和弱磁场情形下gUJ<<kT的磁化率。考察当J=和J→→0，而2gBJ→时的磁化率。解：每个磁矩在磁场中的能量8=-gμBmH，单磁矩配分函数为esm=e"-essinh2J+]2J0-_Z, =1-e-5sinhx2J其中，=guH,x=J=gμJH,β=YKT。磁化强度为M="%inZ,=ngμJJ%InZ,= ngμJB,()βBaHax其中，n为磁矩的数密度，aar2J +1,In sinh 2In| sinh n ZB, (x)=Yxax2J2.J112J +1coth 2J +1,coth2J2J2J2J称为布里渊函数。在高温和弱磁场情形下，x<<1,BJ，M和x分别为2J +1(2J12J+11(2J1x)J+1B, (x)~）2J（x32J）3.12J(2J+132J

i i j j p C p e dp p p     − =    其中积分： 1 i j i j ij j j e p e dp p dp kT e dp p p       −   − − = − =      将此式代入，得： i ij ij j p kT C e dp kT p      − = =   由此可得： 2 3 2 1 2 1 1 3 2 2 2 1 i i i mv p kT v p c  =  = =  −  。 2.9 假设一个角动量为 J 的磁矩沿磁场 H 方向的分量可取任意一个分立值 B g m  ，其中， m J J J J = − − + − , 1, , 1, ，J 为角动量量子数，m 为磁量子数，g 为旋磁比。磁矩之间的 相互作用可以忽略不计。试计算单位体积内含有 n 个磁矩的物体的磁化强度 M；计算在高 温和弱磁场情形下 g B J  kT 的磁化率  。考察当 1 2 J = 和 , 0 B J →  →  ，而 B 0 g J   → 时的磁化率  。 解：每个磁矩在磁场中的能量 B   = −g mH ，单磁矩配分函数为 ( 1) 1 2 1 sinh 2 1 sinh 2 J J J J m m J m J J x e e J Z e e e x J      − + − − =− =− + − = = = = −   其中， , , 1 B B g H x J g JH kT        = = = = 。磁化强度为 ln ln 1 1 B B J ( ) n M Z ng J Z ng JB x H x      = = =   其中，n 为磁矩的数密度， ( ) 1 2 1 ln ln sinh ln sinh 2 2 2 1 2 1 1 1 coth coth 2 2 2 2 J J x B x Z x x x J J J J x x J J J J    +      = = −               + + = − 称为布里渊函数。在高温和弱磁场情形下， x 1,BJ ,M和 分别为 ( ) 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 3 2 2 3 2 3 J J J J J x J B x x x J J J J x J J + + +      + − + =         +

aM -n(J+1)g"μbM=ngμJB,(t)=n(+)*iH,X3kT3kTaH1=时，B(x)=2cothx-cothx=tanh x=x =(1)当x<<1,和J=PguH,22.M-ng'uH/_ng"u/X=/4kT/4kT(2当x<<1, J→00, μB→0而gμgJ→时，x→μH,1~npg11u.oHB,~uH,M=nμBX=-nplokT,3″333kT2.10考虑一个由N(N>>1)个可分辩的、不能自由运动的、无相互作用的原子组成的系统，每个原子可以占据两个非简并能级：0和ε>0，E/为每个原子的平均能量。NE/的最大可能值是多少？（注意：系统不一定处于平衡态）。如果系统处于热平衡(1)N%可达到的最大值是多少？态，江(2）在热平衡下，由%来表示每个原子的摘/解：（1）若系统处于非平衡态，所有原子都可以处于高能级ε上，=86，这时系统处在负温度状态。若系统处于热平衡态，当温度T→+oo时，每个原子以等概率处于能级0和8上，EL=62/Nm（2）当系统处于能量为E的热平衡态时，设在0能级和ε能级上的粒子数分别为N和N，，E/,N。=N-E。，系统的微观状态数和熵分别为由N。+N,=N,N,β=E，得到N,=EN!N!N!Q=S=klnΩ=klrN,!N,!NE)(3)(n-)6N.和N,均远大于1，利用斯特令近似公式，得：

( ) ( ) 2 2 1 3 B B J J J g M ng JB x n H kT   + = = ， ( ) 2 2 1 3 B M J J g n H kT    + = =  （1）当 x  1, 和 2 1 J = 时， B (x) x x x x g BH 2 1 2coth coth tanh 2 1 = − =  = ， 2 2 2 2 , 4 4 B B ng H ng M kT kT   = =  （2）当 x  1, 0 , 0 B B J g J →  → →    而 时， 0 x H →  ， 2 0 0 0 0 0 1 1 1 , , 3 3 3 3 H n B x H M n B n kT kT      =  =      2.10 考虑一个由 N(N 1) 个可分辩的、不能自由运动的、无相互作用的原子组成的系统， 每个原子可以占据两个非简并能级：0 和   0， E N 为每个原子的平均能量。 （1） E N 的最大可能值是多少？（注意：系统不一定处于平衡态）。如果系统处于热平衡 态， E N 可达到的最大值是多少？ （2）在热平衡下，由 E N 来表示每个原子的熵 S N 。 解：（1）若系统处于非平衡态，所有原子都可以处于高能级  上， ( )max E N =  ，这时系统 处在负温度状态。 若系统处于热平衡态，当温度 T → + 时，每个原子以等概率处于能级 0 和  上， ( )max 2 E N =  。 （2）当系统处于能量为 E 的热平衡态时，设在 0 能级和  能级上的粒子数分别为 N N 0 1 和 ， 由 0 1 1 N N N N E + = = ,  ，得到 1 0 N N N E E ,   = = − ，系统的微观状态数和熵分别为 0 1 ! ! ! ! ! ! N N N N E E N    = =         −     ， ! ln ln ! ! N S k k E E N   =  =         −     N N 0 1 和 均远大于 1，利用斯特令近似公式，得：

SkEEN-NInNNN8SCE-InE=kInN1元NNN:"e是n是+(1-EInN"NNeAc只→0：当→号时，S→In2 :E→0时，721NN2.11设粒子的能量和动量间的关系为ε=αp，（其中，α为常数，s=1,2：动量2））的粒子组成的n维理想气体，不论这些粒子是服从玻尔兹曼分p=(p + p +.+ p)布、玻色分布还是费米分布，证明气体的内能U和压强p都满足同样的关系：pV==U，n其中V为气体的体积。解：粒子的能量=αp'=α(p +p +..+p.)考虑在能量曲面内所包含的微观状态数为二.Z(c)=-/dx.dxdp..dp.phn.- - - ()K,=CVe%1其中，V为气体的体积，K为n维单位球的体积，C"是与V和无关的常数。(+)d="c've"d=CVe deg(ce)ds=能态密度为：deSC为与V,ε和T无关的常数。（1）对玻尔兹曼分布，单粒子配分函数为-gde=CVβZ,= ["e-Pg(c)de=CV[NkT气体的内能和压强分别为：U=-N I="NkT,NalnZ,PsVaββavSpV-u.由此得到：n

ln ln ln ln ln 1 ln ln 1 ln 1 S k E E E E N N N N N N E E E E k N N N N E E E E k N N N N                   = − − − −                   = − − − −                   = − + − −             当 0 E N → 时， 0 S N → ；当 2 E N  → 时， ln 2 S N → 。 2.11 设粒子的能量和动量间的关系为 s  = p ，（其中，  为常数，s＝1,2；动量 ( ) 1 2 2 2 2 1 2 n p p p p = + + + ）的粒子组成的 n 维理想气体，不论这些粒子是服从玻尔兹曼分 布、玻色分布还是费米分布，证明气体的内能 U 和压强 p 都满足同样的关系： s pV U n = ， 其中 V 为气体的体积。 解：粒子的能量 ( ) 2 2 2 2 1 2 s s n    = = + + + p p p p 考虑在能量曲面  内所包含的微观状态数为 ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 s i i n n n p n n s s n s n n n n dx dx dp dp h V V d d K C V h h                    =      = = =               其中，V 为气体的体积， 2 1 2 n Kn n  =    +     为 n 维单位球的体积， C 是与 V 和  无关的常数。 能态密度为： ( ) 1 1 n n s s d n g d d C V d CV d d s          − − = = =  C 为与 V T ,和 无关的常数。 （1）对玻尔兹曼分布，单粒子配分函数为 ( ) 1 1 0 0 n n s s n Z e g d CV e d CV s          − − − −   = = =       气体的内能和压强分别为： 1 1 ln ln , Z Z n N NkT U N NkT p   s V V   = − = = =   由此得到： s pV U n =

（2）对玻色和费米分布，巨配分函数对数、内能和压强分别为In三=±Jg(s)deln(1±e-α-βe)U---d-c-dsJ0ea+βe±1Joea+±1β["'deln(1+e-a-β)pV=kTIn三=±kTCV[165Gs+=CV=±=kTCVei In(1±e-a-βe)d=-cdgJo ea+pe ±1Jo ea+βe ±1nnn其中，上符号“十”号对应于费米分布，下符号“二”号对应于玻色分布。比较上述两式得到：pV==u。n2n-/2mn=3,s=2,得pV=U讨论：（1）对于三维非相对论性理想气体，ε=(2）对于三维极端相对论性理想气体，8=cp,n=3,s=1,得pV==U。32.12一分子晶体由N个同核双原子分子A组成，每个分子可以在它所在的格点上自由转动，转动惯量为I，每个分子的两个核作相对振动，振动的圆频率为の，设A原子核的自旋为0。试求晶体的定容热容量C与晶体温度T之间的关系。解：分子晶体是局域系，分子的振动和转动能量为nJho+n-1(1+1)6=6,+6, =n+-212)由于A，分子是同核双原子分子，核自旋为零，所以轨道波函数是对称的，轨道角动量量子数1=0,2,4·…。分子的振动和转动配分函数分别为3ho/Z,-Ze)e1-e-Bhe0_B(+%(21+1)ez, = Z=0系统的内能和热容量分别为hoaln(Z,Z)1,alnZ,E=-N9+-hの+naβCeBhe-1oβ

（2）对玻色和费米分布，巨配分函数对数、内能和压强分别为 ( ) ( ) 0 ln ln 1 g d e      − −  =    ( ) 0 0 ln 1 1 n g s U d CV d e e             + +   = − = =      ( ) ( ) 1 0 0 0 0 ln ln 1 ln 1 1 1 n s n n n s s s pV kT kTCV d e s s s kTCV e CV d CV d n n e n e                 − − −    − − + + =  =  + =   + =      其中，上符号“＋”号对应于费米分布，下符号“－”号对应于玻色分布。比较上述两式得 到： s pV U n = 。 讨论：（1）对于三维非相对论性理想气体， 2 2 , 3, 2, 2 3 p n s pV U m  = = = = 得 。 （2）对于三维极端相对论性理想气体， 1 , 3, 1, 3  = = = = cp n s pV U 得 。 2.12 一分子晶体由 N 个同核双原子分子 A2 组成，每个分子可以在它所在的格点上自由转 动，转动惯量为 I，每个分子的两个核作相对振动，振动的圆频率为  ，设 A 原子核的自旋 为 0。试求晶体的定容热容量 CV 与晶体温度 T 之间的关系。 解：分子晶体是局域系，分子的振动和转动能量为 ( ) 2 1 1 2 2 v r n l l I       = + = + + +     由于 A2 分子是同核双原子分子，核自旋为零，所以轨道波函数是对称的，轨道角动量量子 数 l = 0,2,4, 。分子的振动和转动配分函数分别为 ( ) ( ) 2 1 2 2 0 1 2 0,2,4, 1 2 1 n v n l l I r l e Z e e Z l e          −  − +     − = + − = = = − = +   系统的内能和热容量分别为 ln( ) 1 ln 2 1 v r r Z Z Z E N N N e           = − = + −    −   