第五章和第六章相变（I）和相变（IⅡ）1，立方点阵的点阵常数为α，在体心立方点阵的情形下，求：（a）原胞的体积：（b）原胞的结点数；（c）最近邻结点间距离；（d）每一结点的最近邻结点数：（e）以体心到三个最近邻的顶点连线为边形成的菱面体作为原胞，求此原胞的体积和它所包含的结点数。V311×3a=（答案：（a）α3（b）n=l+=×8=2(c)d=a；（d）n=8：（e）以体228心为坐标原点，与三个顶点号(-7+}+k)、号(-7+)和(+}-K)的连a3线为边的菱形体所作的原胞体积为2V31xV3a×体对角线=解：（a)a3；（b)n=1+=x8=2;(c)d=a2822(d）n近邻=8：（e）以体心为坐标原点，与三个顶点号(-i+j+k)、~(i-j+k)和PY2(i+j-k)）的连线为边的菱形体所作的原胞体积为：11/_a3a3a[a1 (a2 xa3) =1--4x所以这种元胞只包含20S-11一个结点，称布喇菲元胞，即n布=1。2，晶体的弹性与粒子的相互作用能E，有密切的关系。试证明晶体的体积弹性模量B、绝热压缩系数K，与E，之间的关系为：d'E1B= -dy?Ks（注：品体的弹性压缩可看作为绝热过程，有AP=-B会B:Iav1解：晶体的弹性压缩可看作为绝热过程（速度很快，能量来不及交换），则体积弹性模量B4V(op和压强增量之间的关系为：Ap=-BB=-，而绝热压缩系数L(av
第五章和第六章 相变（Ⅰ）和相变（Ⅱ） 1，立方点阵的点阵常数为 a ，在体心立方点阵的情形下，求：（a）原胞的体积；（b）原胞的 结点数；（c）最近邻结点间距离；（d）每一结点的最近邻结点数；（e）以体心到三个最近邻 的顶点连线为边形成的菱面体作为原胞，求此原胞的体积和它所包含的结点数。 （答案：（a） 3 a （b） 8 2 8 1 n = 1+ = （c） d a a 2 3 3 2 1 = = ；（d） n = 8 ；（e）以体 心为坐标原点，与三个顶点 ( i j k ) a − + + 2 、 (i j k ) a − + 2 和 (i j k ) a + − 2 的连 线为边的菱形体所作的原胞体积为 2 3 a ） 解：（a） 3 a ；（b） 8 2 8 1 n = 1+ = ；（c） d a a 2 3 3 2 1 2 1 = 体对角线 = = ； （d） n近邻 = 8 ；（e）以体心为坐标原点，与三个顶点 ( i j k ) a − + + 2 、 (i j k ) a − + 2 和 (i j k ) a + − 2 的连线为边的菱形体所作的原胞体积为： ( ) 2 a 8 a 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a 3 3 3 1 2 3 = = − − − − = a 。所以这种元胞只包含 一个结点，称布喇菲元胞，即 n布 =1。 2，晶体的弹性与粒子的相互作用能 E p 有密切的关系。试证明晶体的体积弹性模量 B 、绝 热压缩系数 S 与 E p 之间的关系为： 2 2 1 dV d E B V p S = = （注：晶体的弹性压缩可看作为绝热过程，有 V V p B = − ， V S p B V = − ） 解：晶体的弹性压缩可看作为绝热过程（速度很快，能量来不及交换），则体积弹性模量 B 和压强增量之间的关系为： V V p B = − ， V S p B V = − ，而绝热压缩系数
avB比较可得：在绝热过程中，外界对系统作KsdvopKs的功等于晶体内能的增加的这部分内能即为粒子间相互作用能量的增量，d?EdEpapB=dE,=-pdV,所以有：Pdv2dy(dv)s3，将一个钠原子从钠晶体的内部移到晶体表面所需的能量为：u=1.0eV，（a）计算在1000K的温度下空位数占原子总数的百分比；（b）如邻近空位的钠原子跳到空位上所需的能量为：△u=0.5eV，原子的振动频率为10"2s-1，相邻两钠原子的距离为0.371nm，则在1000K的温度下钠的自扩散系数是多少？（答案：（a）热振动产生的空位数服从玻氏分布n=Ne-"/kT，n/N=9.22×10-，（b）元自扩散系数D=，而=; D=13×10-16(m2.s-))3T解：（a）由于热振动产生的空位数服从玻氏分布n=Ne-"/kr，1.6×10-19n/N=e-i/kT-11.6 = 9.22×10-6se=expl1.38×10-23×103元1（b）自扩散系数D=，而=；由于粒子是靠空位的移动而移动的，则只有3T当该粒子邻近有一个空位时它才能移动，因为粒子旁有空位的概率为：n/N，所以粒子移动一次平均所需的时间应为粒子邻近的空位移动到另一空位上去的时间t，乘上N/n，即Nu/k1，由于空间移动需能量△u，所以n1(Au+)/kTu/kTTi = TioeNoe-Au/kT, T=TioeD=12_12e-(Au+u)/KT _ 1,V2e-(\u+u)/kT3T3T103 (-1.5×1.6×10-191×1012 ×(3.71×10-10) expl13×10-16(m2.s-)3(1.38×10-23×103<<D气
s S p V V = − 1 ，比较可得： S s dV p B V = = − 1 ，在绝热过程中，外界对系统作 的功等于晶体内能的增加的这部分内能即为粒子间相互作用能量的增量， dEp = −pdV ， dV dE p p = − ，所以有： 2 2 dV d E V dV p B V p s = = − 。 3，将一个钠原子从钠晶体的内部移到晶体表面所需的能量为： u =1.0eV ，（a）计算在 1000K 的温度下空位数占原子总数的百分比；（b）如邻近空位的钠原子跳到空位上所需 的能量为： u = 0.5eV ，原子的振动频率为 12 1 10 − s ，相邻两钠原子的距离为 0.371nm ，则在 1000K 的温度下钠的自扩散系数是多少？ （答案：（a）热振动产生的空位数服从玻氏分布 u kT n Ne− / = ， 6 / 9.22 10− n N = ；（b） 自扩散系数 D v 3 1 = ，而 v = ； D = 1310−16（m 2 s −1） ） 解：（a） 由于热振动产生的空位数服从玻氏分布 u kT n Ne− / = ， 11.6 6 23 3 19 9.22 10 1.38 10 10 1.6 10 / exp − − − − − = = n N = e = − e u k T ； （b） 自扩散系数 D v 3 1 = ，而 v = ；由于粒子是靠空位的移动而移动的，则只有 当该粒子邻近有一个空位时它才能移动，因为粒子旁有空位的概率为： n/ N ，所以粒子 移动一次平均所需的时间应为粒子邻近的空位移动到另一空位上去的时间 1 乘上 N / n ， 即 1 1 = = u kT e n N ，由于空间移动需能量 u ，所以 u kT u kT e e − = = 0 1 10 1 ， ( u u ) kT e + = 10 ， ( ) ( ) ( ) 气 （ ） D m s D e e u u k T u u k T = − = = = = − − − − − − + − + 16 2 1 23 3 19 2 12 10 2 0 10 2 2 13 10 1.38 10 10 1.5 1.6 10 10 3.71 10 exp 3 1 3 1 3 1 3 1
4，试估算立方晶体中原子的振动频率v，设立方体的点阵常数为a10-1°m，原子质量m~10-26kg，晶体的体积弹性模量B~10lN·m-2。k10~1013Hz)V=（答案：Vm2元 2元op解：体积弹性模量B，所以晶体在压强p的作用下，晶体体积的相对变化为：CavJTAVAV-B34aR4则一原子所受的力为：p=:VVa3f = pa=-3Baa,此力为恢复力，弹性常数k=3Ba，所以它使原子在平衡位置附近振动，振动频率为：k_3Ba02=mm3×10l×10-103Ba110=8.7×10l2(Hz)~1013Hz。V:S10-262元2元m2元V5，用橡皮管把玻璃毛细管A和粗管B连接，内中盛水，如图所示。现固定A管，把B管缓慢提起，则A管中的水面将升高，到达管口，并溢出。（a）在B管上升时，画出几个表示液面形状的图，指出何时两管水面的高度差最大？（b）若A管内径d，=0.7mm，水的表面张力系数α=7.3×10-2N·m-，接触角Q=0°，那么A管与B管中水面的最大高度差是多少？ABh橡皮管dv（答案：（b），设A管与B管水面的高度差为△H，则当△H≥h。+一时，A管液面为半2d,凹球面，h。=4.3cm；当0<△H<h+时，A管液面为凹液面，曲率半径R2
4，试估算立方晶体中原子的振动频率 ，设立方体的点阵常数为 a m 10 10− ，原子质量 m kg 26 10− ，晶体的体积弹性模量 11 2 10 − B N m 。 （答案： Hz m k 13 10 2 1 2 = = ） 解：体积弹性模量 V T p B V = − ，所以晶体在压强 p 的作用下，晶体体积的相对变化为： V V ，则 3 3 a a B V V p B = − = − ， 原子所受的力为： f pa 3Baa 2 = = − ， 此力为恢复力，弹性常数 k = 3Ba ，所以它使原子在平衡位置附近振动，振动频率为： m Ba m 2 k 3 = = (Hz) Hz m Ba 12 13 26 11 10 8.7 10 10 10 3 10 10 2 3 1 2 1 2 = = = − − 。 5，用橡皮管把玻璃毛细管 A 和粗管 B 连接，内中盛水，如图所示。现固定 A 管，把 B 管缓 慢提起，则 A 管中的水面将升高，到达管口，并溢出。（a）在 B 管上升时，画出几个表 示液面形状的图，指出何时两管水面的高度差最大？（b）若 A 管内径 d1 = 0.7mm ，水 的表面张力系数 2 1 7.3 10− − = N m ，接触角 0 = 0 ，那么 A 管与 B 管中水面的最大 高度差是多少？ （答案：（b），设 A 管与 B 管水面的高度差为 H ，则当 2 1 0 d H h + 时， A 管液面为半 凹球面， h0 = 4.3cm ；当 0＜ H ＜ 2 1 0 d h + 时， A 管液面为凹液面，曲率半径 R
4α+dz随AH的减小而增大，AH=0时，液面为平面；当AH<-2（d为A管2pgd,d,4αd,：当AH=外径）A管凸液面的曲率半径大于A管凸液面为半球22pgd,d,形，曲率半径R，=再提高B管液面，A管液面破裂溢出。A管与B管中水2面的最大高度差hmx=h。=4.3cm）解：（a）水能润湿玻璃：在毛细管中形成凹液面。表面张力使A中水面与B管中水面有恒定高度差（图1）：当B管上提时，A管液面不断上升（图2），直到凹液面上部到达管口时为止，液面高度差恒定不变。再提高B管，A管液面曲率半径不断增大（图2），当A、B液面在同一水平面时，A管液面正好在管口形成平面，继续缓慢提高B管液面，则A管口呈凸液面（图3），在提高B管，A管口的液面达到半球形，然后破裂，水从管中喷出，B管液面下降到A管液面水平为止。HAHh37h21△HAABBAABTnoBhi5橡皮管橡皮管橡皮管橡皮管L4321时，A管液面为半凹球面，设A管口与B管液面高度差AH，则当△H≥h.+24α2α4×0.073ho ==0.0426=4.3cm。103×9.8×07×103PgRpgd,di当0<AH<ho+一时，(b)，A管内液面在管口为半凹液面，曲率半径R随△H2AH=O时，液面为平面。的减小而增大，4αd2(c) AH<其中d,为A管外径，A管凸液面的曲率半径大于d,/2。2pgd4αd2d2(d) 4H=A管的凸液面呈半球形，曲率半径R，=再提高液22pgd,面，A管液面破裂溢出
随 H 的减小而增大， H =0 时，液面为平面；当 H ＜ 2 4 2 2 d gd + （ 2 d 为 A 管 外径） A 管凸液面的曲率半径大于 2 2 d ；当 H = 2 4 2 2 d gd + ，A 管凸液面为半球 形，曲率半径 2 2 2 d R = ，再提高 B 管液面， A 管液面破裂溢出。 A 管与 B 管中水 面的最大高度差 hmax = h0 = 4.3cm ） 解： （a）水能润湿玻璃，在毛细管中形成凹液面。表面张力使 A 中水面与 B 管中水面有 恒定高度差（图 1）；当 B 管上提时， A 管液面不断上升（图 2）,直到凹液面上部 到达管口时为止，液面高度差恒定不变。再提高 B 管， A 管液面曲率半径不断增大 （图 2），当 A 、 B 液面在同一水平面时， A 管液面正好在管口形成平面，继续缓 慢提高 B 管液面，则 A 管口呈凸液面（图 3），在提高 B 管， A 管口的液面达到半 球形，然后破裂，水从管中喷出， B 管液面下降到 A 管液面水平为止。 设 A 管口与 B 管液面高度差 H ，则当 2 1 0 d H h + 时， A 管液面为半凹球面， cm gR gd h 0.0426 4.3 10 9.8 0,7 10 2 4 4 0.073 3 3 1 0 = = = = = 。 （b） 当 2 0 1 0 d H h + 时， A 管内液面在管口为半凹液面，曲率半径 R 随 H 的减小而增大， H = 0 时，液面为平面。 （c） 2 4 d2 gd H + ,其中 2 d 为 A 管外径， A 管凸液面的曲率半径大于 d2 / 2 。 （d） 2 4 2 2 d gd H = + ， A 管的凸液面呈半球形，曲率半径 2 2 2 d R = ，再提高液 面， A 管液面破裂溢出
A、B管内液面的最大高度差hmx=h。=4.3cm。6，两端开口的玻璃管，上部是毛细管，下部是粗园管。粗端置于大口散开的水槽内，在水槽和玻管内注入水，若弯月面比水槽中水面高10cm，大气压强为10°Pa（见图），问：（a）在什么条件下可形成这个水柱？（b）在弯月面下4cm处的压强是多少？（c）若水的表面张力系数α=7×10-N·m-l，接触角θ=0，求玻璃毛细管的内径r。hi=4cm6cr（答案：（b）Pg=0.994×10Pa（c）r=0.143mm）解：（a）若把此玻管直接放入水槽内，向水槽注水，水面又不超过粗管部分，就不可能形成此水柱。若要形成如图的情况，就必须将容器倒转过来，成为漏斗状，并先封住细管口注满水后倒插入水槽内，再将细管启封，这就会形成图中所示的水柱。2α，但r未知，无法求。(b）以A为基准：PB=PA+pgh=Por现以D为基准：PB=PD-pghz=Po-pghz=105-103×9.8×0.06=0.994×105Pa 。2α + pg(hi + h2)(c) Pc = Pp = Po = Pa + pg(h + h2)= Po - 22α2×0.07=0.143mm所以r=pg(hi + h2)103×9.8×0.17，两平行玻璃板，宽l=0.100m，两板间距d=1.0×10-m，两板部分浸入水中，如图所示。，水的表面张力系数α=7.0×10-N·m-"，接触角θ=0，试求：（a）两板间水面上升的高度h是多少？（b）两板间的吸引力F是多少？
A 、 B 管内液面的最大高度差 hmax = h0 = 4.3cm 。 6，两端开口的玻璃管，上部是毛细管，下部是粗园管。粗端置于大口敞开的水槽内，在水 槽和玻管内注入水，若弯月面比水槽中水面高 10cm ，大气压强为 Pa 5 10 （见图），问： （a） 在什么条件下可形成这个水柱？（b）在弯月面下 4cm 处的压强是多少？（c）若水 的表面张力系数 2 1 7 10− − = N m ，接触角 = 0 ，求玻璃毛细管的内径 r 。 （答案：（b） pB Pa 5 = 0.99410 （c） r = 0.143mm ） 解：（a）若把此玻管直接放入水槽内，向水槽注水，水面又不超过粗管部分，就不可能形成 此水柱。若要形成如图的情况，就必须将容器倒转过来，成为漏斗状，并先封住细管口， 注满水后倒插入水槽内，再将细管启封，这就会形成图中所示的水柱。 （b）以 A 为基准： r pB pA gh p 2 = + 1 = 0 − ，但 r 未知，无法求。 现以 D 为基准： pB pD gh p gh Pa 5 3 5 = − 2 = 0 − 2 =10 −10 9.80.06 = 0.99410 。 （c） ( ) ( ) 0 1 2 0 1 2 2 g h h r pC = pD = p = pA + g h + h = p − + + 所以 ( ) mm g h h r 0.143 10 9.8 0.1 2 2 0.07 3 1 2 = = + = 7，两平行玻璃板，宽 l = 0.100m ，两板间距 d m 4 1.0 10− = ，两板部分浸入水中，如图所 示。，水的表面张力系数 2 1 7.0 10− − = N m ，接触角 = 0 ，试求：（a）两板间水面 上升的高度 h 是多少？（b）两板间的吸引力 F 是多少？