《热学热力学与统计物理》课程教学资源（教材讲义，下）习题参考答案（1-2）

(---()-p()=+)(2) =x=1 nn-2n为奇数1 nn-2...2.1n为偶数a72 2

( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x x x       = − = − =     （2） ( ) 2 2 2 0 0 2 1 1 2 n n n n x n n y x x x dx x e dx       −   = = = =  +       2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2.1 2 2 n n n n n n n n     −   =  −    为奇数 为偶数

第二章2.1一个质量为m的粒子在一个边长为L的立方体的盒子中作自由运动，粒子的能量h?，式中h为普朗克常数，n=n+n,+n，量子数n,n,n.=0,±1,±2,…(n)=n2mL?试分别给出当n=0,1,2,3,4时能级s(n)所包含的量子态(n,n,n.)及简并度の(n)。解：一组量子数(nx,n,n.）对应于一个量子态，n=n+n,+n.决定粒子的能量ε(n)。因此，量子态(n，n,n.）和简并度o(n)列表如下o(n)nnn,n.量子态数000012±1000±102200±10±1±142±10±14120±14±13±1±188±1±200200±2262±22002.2一个由N个可分辩的近独立的三维谐振子组成的系统，其个体量子态用量子数(n,n,,n.)标记，态(n,n,n.)的能量为：s(n)=n, +n,+n.+[hy式中h为普朗克常数，为谐振子的振动频率，n=n，+n,+n.，量子数n,n,n.=0,1,2,。写出谐振子个体能级及简并度的表达式；设达到平衡态时系统的温度为T，求系统的内能、摘和自由能。解：个体能级1(n)[hv,n=n,+n,+n.,nx,n,,n.=o,1,2,..a1n,+n,+n,+能级8,的简并度：这n个谐振子可以以任意一组数(n,n,n.）分配在x,y,=三个方向上振动，但要满足条件n=n，+n,+n.。为此，可以将3个方向看作3个盒子，量子数n看

第二章 2.1 一个质量为 m 的粒子在一个边长为 L 的立方体的盒子中作自由运动，粒子的能量 ( ) 2 2 2 h n n mL  = ，式中 h 为普朗克常数， 2 2 2 x y z n n n n = + + ，量子数 , , 0, 1, 2, x y z n n n =   。 试分别给出当 n = 0,1,2,3,4 时能级  (n) 所包含的量子态 (n n n x y z , , ) 及简并度 (n) 。 解：一组量子数 (n n n x y z , , ) 对应于一个量子态， 222 x y z n n n n = + + 决定粒子的能量  (n) 。因 此，量子态 (n n n x y z , , ) 和简并度 (n) 列表如下 n x n y n z n 量子态数 (n) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 2 0 1 0 2 6 0 0 1 2 2 1 1 0 4 1 0 1 4 12 0 1 1 4 3 1 1 1 8 8 4 2 0 0 2 0 2 0 2 6 0 0 2 2 2.2 一个由 N 个可分辩的近独立的三维谐振子组成的系统，其个体量子态用量子数 (n n n x y z , , ) 标记，态 (n n n x y z , , ) 的能量为： ( ) 3 2 x y z   n n n n h   = + + +     ， 式 中 h 为普朗克常数，  为谐振子的振动频率， x y z n n n n = + + ， 量 子 数 , , 0,1,2, x y z n n n = 。写出谐振子个体能级及简并度的表达式；设达到平衡态时系统的温 度为 T，求系统的内能、熵和自由能。 解：个体能级 ( ) 3 3 , , , , 0,1,2, 2 2 x y z x y z x y z    n n h n n n h n n n n n n n     = + = + + + = + + =         能级 n  的简并度：这 n 个谐振子可以以任意一组数 (n n n x y z , , ) 分配在 x y z , , 三个方向 上振动，但要满足条件 x y z n n n n = + + 。为此，可以将 3 个方向看作 3 个盒子，量子数 n 看

作n个球，将所有盒子和球排成一列，并使排头第一个固定为盒子，其余n+2个球和盒子的全排列数为（n+2)！，但n个球和2个盒子的交换不会给出新的排法，（n+2)！中应除去n个球和2个盒子的全排列数2!n！。因此，这n个谐振子分配在x，y,z三个方向上振动的方(n+2)=(n+1)(n+2),式总数为：の2!n!上式就是能级ε(n)的简并度。谐振子的个体配分函数Z,以及系统的内能U、摘S和自由能ehZ=222-n(+)F分别为：(1-e-Br)n_=0n,=0n,=0U--~ 4% -3Nn(+)aβS = (N ln Z, + βU)= 3 Nk -Ii(i-e-0m)+ Bhy)F=-NkTInZ,=3NkTIn(1-e-Bm)+Bhv2.3试求在极端相对论情形下，分子的能量和动量的关系为=pc的玻尔兹曼理想气体的内能、摘、定容热容量、自由能和压强。解： 在极端相对论下粒子的能态密度： g(e)de=4cds(hc)8元VZ,=J.e-ng(e)de= 4nVe-gd=单粒子配分函数：(he)(hcβ)olnZ=3NkT,气体的内能、摘、定容热容量、自由能和压强分别为：U=-Naβ1n8元Vhcolnz,3lnS=NkIn ZkInN!=NkIn-NkTaβ3NkCKTF-TI+In-Nn()

作 n 个球，将所有盒子和球排成一列，并使排头第一个固定为盒子，其余 n+ 2 个球和盒子 的全排列数为 (n + 2 !) ，但 n 个球和 2 个盒子的交换不会给出新的排法， (n + 2 !) 中应除去 n 个球和 2 个盒子的全排列数 2! ! n 。因此，这 n 个谐振子分配在 x y z , , 三个方向上振动的方 式总数为： ( ) ( )( ) 2 ! 1 1 2 2! ! 2 n n n n n  + = = + + ， 上式就是能级  (n) 的简并度。谐振子的个体配分函数 Z1 以及系统的内能 U、熵 S 和自由能 F 分别为： ( ) 3 3 2 2 1 3 0 0 0 1 x y z x y z h h n n n h n n n e Z e e       −      − + + +     − = −    ＝ ＝ ＝ ＝ 1 ln 1 1 3 2 1 h Z U N Nh e        = − = +    −   ( ln 3 ln 1 1 ) ( ) 1 h h h S k N Z U Nk e e          − = + = − − +     − 1 ( ) 1 ln 3 ln 1 2 h F NkT Z NkT e h       − = − = − +     2.3 试求在极端相对论情形下，分子的能量和动量的关系为  = pc 的玻尔兹曼理想气体的 内能、熵、定容热容量、自由能和压强。 解：在极端相对论下粒子的能态密度： ( ) ( ) 2 3 4 V g d d hc      = 单粒子配分函数： ( ) ( ) ( ) 2 1 3 3 0 0 4 8 V V Z e g d e d hc hc            − − = = =   气体的内能、熵、定容热容量、自由能和压强分别为： 1 ln 3 Z U N NkT   = − =  ， 1 1 ln 8 ln ln ! ln 3ln 4 Z V hc S Nk Z k N Nk N kT         = − − = − +          3 V V U C Nk T    = =      3 1 ln ln ! ln 8 V kT F NkT Z kT N NkT e N hc      = − + = −          

NolnZ,_NkTp:βavV2.4被吸附在固体表面上的单原子分子能在表面上自由运动，可把它看成二维理想气体。试求分子的平均速率、最概然速率和方均根速率。解：二维理想气体分子的速度分布律由Maxwell速度分布律给出m-mhmhkTdv.dv,/2kTvdvdgf ()dv,dy, =2元kT2元kT me/h ydy对角度积分后，得到二维运动的速率分布律：F()dv=kT元kTm/ ydy== vF(v)dv=平均速率为：JokTV2mKTaF由=0，得最概然速率：V，=ovVmS2kThkydy= ["VF(v)dv=Joklm2kT因此，方均根速率为：V=Vvm2.5设质量为m的单原子分子组成的理想气体处于温度为T的热力学平衡态，从气体中任取两个分子，求其总能量在-ε+dc范围内的概率（）ds和平均能量的表达式。m%m解：Maxwell速率分布律为：F(v)dv=4元e2kdv2元kT）1mv，得分子的能量在8-8+ds范围内的概率为能量6=21%ekighdef(8)d=2元元kT任取2个分子，一个分子的能量在,一6+ds,范围内，另一个分子的能量在62一82+ds2范围内，2个分子的能量在ε-8+ds范围内的概率为f()f(s)de,ds, =f(s)f(-)deds考虑到0≤≤8，对8,积分得到2个分子的能量在ε～6+ds范围内的概率1(s)de= J° (s)F(s-8)de,d8= 4元(-edefee(e-s,)de元kT()de

1 N NkT ln Z p  V V  = =  。 2.4 被吸附在固体表面上的单原子分子能在表面上自由运动，可把它看成二维理想气体。试 求分子的平均速率、最概然速率和方均根速率。 解：二维理想气体分子的速度分布律由 Maxwell 速度分布律给出 ( ) 2 2 2 2 2 2 mv mv kT kT x y x y m m f v dv dv e dv dv e vdvd kT kT    − − = = 对角度积分后，得到二维运动的速率分布律： ( ) 2 2 mv m kT F v dv e vdv kT − = 平均速率为： ( ) 2 2 2 0 0 2 mv m kT kT v vF v dv e v dv kT m   −  = = =   由 0 p v v F v =      =    ，得最概然速率： p kT v m = ( ) 2 2 2 3 2 0 0 mv 2 m kT kT v v F v dv e v dv kT m   − = = =   因此，方均根速率为： 2 2 s kT v v m = = 。 2.5 设质量为 m 的单原子分子组成的理想气体处于温度为 T 的热力学平衡态，从气体中任 取两个分子，求其总能量在  − + d 范围内的概率    ( )d 和平均能量的表达式。 解：Maxwell 速率分布律为： ( ) 3 2 2 2 2 4 2 mv m kT F v dv e v dv kT   −   =     能量 1 2 2  = mv ，得分子的能量在  − + d 范围内的概率为 ( ) 3 2 1 2 1 2 kT f d e d kT        −   =     任取 2 个分子，一个分子的能量在 1 1 1  − + d 范围内，另一个分子的能量在 2 2 2  − + d 范围内，2 个分子的能量在  − + d 范围内的概率为 f f d d f f d d (         1 2 1 2 1 1 1 ) ( ) = − ( ) ( ) 考虑到 1 0     ，对 1  积分得到 2 个分子的能量在    + d 范围内的概率 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 1 1 1 1 0 0 3 2 1 4 1 2 kT kT d f f d d e d d kT kT e d                      − − −   = − = −     =  

2个粒子的平均能量：=ey(e)de=ekTgd=3kTLkT2.6用q1,9293表示3N个自由度系统状态的广义坐标，相应于坐标q,的广义力是X，，3NaH若系统的哈密顿量是H，则X=试证明维里定理：Zq,X,=-3NkTaqii=l其中T是气体的温度。特别是当具有相互作用势能为U（9i，92，,93）的N个分子组成的气体被封闭在体积为V的容器中时，维里定理取如下形式：PV=NkT-！2%U241其中p是气体分子施加于容器壁的压强。这里91,92",93是确定N个分子位置的笛卡儿坐标。解：一个与温度为T的热源接触的经典系统，出现系统的哈密顿量为H的概率为P=Ce-BHH的平均值为空间1 Qe-βBHaHaHe-BH dr =c( Jq,dq,dr,Yiβq,aqaqE,9-[en dq, ar,=8,c J eHlda,dr,Lq,e-BH-kTCaqj1,9q,e-BHdT=kTO,=kT8.C因此，有维里定理3N3N3.N3NaHZkT=Zq,X, =-3NKTZq,X,aog1=1i=li=li=l气体分子中的力X由两部分组成，一部分是分子间的相互作用势能U，另一部分来自au+F。F是器壁施加给分子在9,方向上的分量，只有当器壁的作用力F，因此，X，a分子的坐标充分接近器壁时才有显著作用。用，，表示N个分子的位置，代替3N个N-ZrFq，则有：S=1

2 个粒子的平均能量： ( ) 3 3 0 0 1 1 3 2 kT d e d kT kT        −   −   = = =       。 2.6 用 1 2 3 , , , N q q q 表示 3N 个自由度系统状态的广义坐标，相应于坐标 i q 的广义力是 Xi ， 若系统的哈密顿量是 H ，则 i i H X q  = −  ，试证明维里定理： 3 1 3 N i i i q X NkT =  = − 其中 T 是气体的温度。 特别是当具有相互作用势能为 ( ) 1 2 3 , , , U q q q N 的 N 个分子组成的气体被封闭在体积 为 V 的容器中时，维里定理取如下形式： 3 1 1 3 N i i i U pV NkT q = q  = −   其中 p 是气体分子施加于容器壁的压强。这里 1 2 3 , , , N q q q 是确定 N 个分子位置的笛卡儿 坐标。 解：一个与温度为 T 的热源接触的经典系统，出现系统的哈密顿量为 H 的概率为 H P Ce− =  空间的体积元 1 3 1 3 j N j N j j d dq dq dq dp dp dp dq d  = =  ， i j H q q   的平均值为 1 j j j j j j j H H i i i j j j j j q H H H i i j j ij j j q q q j H ij ij H H e q C q e d C q dq d q q q q kTC q e e dq d kT C e dq d q kT C e d kT           − −  − − −   −       =  = −                = − −  =             =  =         因此，有维里定理 3 3 3 3 1 1 1 1 3 N N N N i i i i i i i i i i H q X q X q kT NkT = = = = q  = = − = − = −      气体分子中的力 Xi 由两部分组成，一部分是分子间的相互作用势能 U，另一部分来自 器壁的作用力 Fi ,因此， i i i U X F q  = − +  。Fi 是器壁施加给分子在 i q 方向上的分量，只有当 分子的坐标充分接近器壁时才有显著作用。用 1 2 , , N r r r 表示 N 个分子的位置，代替 3N 个 i q ，则有： 3 1 1 . N N i i s s i s q F r F = =  =