《热学热力学与统计物理》课程教学资源（教材讲义，下）习题参考答案（1-2）

OEalnznNk(BhoraTaTaβ37OaNkInZ4sinh? hoaTLaβ2kTh?hoho(1）高温极限kT>>hの，kT>>sinh则有：Cy = Nk,212kT2kTBh=1(1+1)/βh*1(1+1)/1+hidl:Z,= (21+1)ee-*dx:(21+1)eBh2JoBh?2JoI=0,2,4,..E,--NZ- NT, Ch -Nk,Cv=CV+Cr=2Nk。aβ。品，则有h2hosinh(2）低温极限kT<<hの，kT<<221'2kTheCy=Nkoa.6h2-B6h2h2-86n2E, =-Nolnz.212130NIn Z,~5eZ,=1+5e27aβ6办2aEh?21kT=180NkCreaT21kThe办h?(ho)21keK+180NkCV=CV+=NkkT(21kT当T→0K时，C→0。2.13证明在玻尔兹曼统计中，摘S可表示为S=-kZJ,Inf,+常数，式中f,=α是每10个量子态上的平均粒子数，常数=NklnN，N为系统的粒子数，求和遍及单粒子的所有量子态S。解：由玻尔兹曼分布得 .-%=e~-m，系统的微观状态数Q =Nn%摘a,!0

( ) ( ) 2 2 2 2 ln 1 1 ln 4sinh 2 r V r E e Z C Nk N T T e Nk N Z kT T kT                = = −      −         = −          （1）高温极限 kT  ， I kT 2 2   ， 2kT 2kT sinh    ，则有： v C Nk V = ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 0 0 0,2,4, 1 2 1 2 1 2 l l l l x I I r l I I Z l e l e dl e dx     − − + +   − = = +  + = =    ln , r r r V Z E N NkT C Nk   = − = =  ， 2 v r C C C Nk V V V = + = 。 （2）低温极限 kT  ， I kT 2 2   ， kT e kT 2 2 1 2 sinh      ，则有 2 v kT C Nk e V kT   −   =     2 2 2 6 6 6 2 2 2 2 ln 1 5 , ln 5 , 30 2 I I I r r r r Z Z e Z e E N N e I     − − −  = +  = − =  2 2 2 6 2 180 2 r IkT V E C Nk e T IkT    − = =      2 2 2 2 6 2 180 2 v r kT IkT C C C Nk e Nk e V V V kT IkT     − −   = + = +         当 T K →0 时， 0 CV → 。 2.13 证明在玻尔兹曼统计中，熵 S 可表示为 ln s s s S k f f = − +  常数，式中 l s l a f  = 是每 个量子态上的平均粒子数，常数 = Nk N ln ，N 为系统的粒子数，求和遍及单粒子的所有量 子态 s。 解：由玻尔兹曼分布得 l s l a f e    − − = = ，系统的微观状态数 !ln ! l a l l N a   = ，熵

S= klnQ=kIn NI+Z(a, Ino,-Ina,I)kNInN+Z(a,Ino,-a,Ina,) =kNInN-Zo,in%福0kNInN-ZofInf.=Z, In f, + kN In N其中，式中已利用了斯特令近似公式nnl~n(lnn-1)，n>>1。2.14设一个双原子分子具有电偶极矩P。，在电场E中分子的转动能1po+-p.Ecos，其中θ为电偶极矩与电场的夹角，已知分子的数密21(sin0度为n，求转动配分函数Z.和电极化强度P。解：（1）转动配分函数Z，neBpoEcosedoe-Berdo=Z.dpdpedphJ21eBpEcoso2/sing12元起BPoEdee"dxsinhβp.Eh2JhβpEJ-βpoEβhβ'pE（2）电极化强度P为kT(1alnz,cothPoEP=np.=nPocothβp.E-np.BBEkTP.E2.15N个弱耦合的粒子服从玻尔兹曼分布，每个粒子可处于能量为-6,0,ε（ε>0)3个能级中的任何一个，设系统与温度为T的大热源接触，试计算：（1）T=0K时系统的；（2）系统熵的极大值Smx和极小值Smin；（3）系统的配分函数Z和内能U。解：（1）T=0K时，系统内所有粒子都处在-6能级上，微观状态数Q=1，摘S=kn2=0（2）单粒子配分函数和粒子处在0和土6能级上的概率分布分别为1 1e812AZ, =1+e +e-pc,Po =ZP=P+:Z.Z.当T→0,β→,Po,P→0,p_→1.N。=N=0,N_=N，微观状态数和分别为Q=1, S=Smn=0

( ) ( ) ln ln ! ln ln ! ln ln ln ln ln ln ln ln ln l l l l l l l l l l l l l l l l s s s s l s S k k N a a a a k N N a a a k N N k N N f f k f f kN N         =  = + −         = + − = −           = − = − +          其中，式中已利用了斯特令近似公式 ln n! n(ln n −1)， n 1。 2.14 设一个双原子分子具有电偶极矩 0 p ，在电场 E 中 分 子 的 转 动 能 2 2 2 0 1 1 cos 2 sin r p p p E I        = + −     ，其中  为电偶极矩与电场的夹角，已知分子的数密 度为 n，求转动配分函数 Z r 和电极化强度 P。 解：（1）转动配分函数 Z r 2 2 2 0 0 0 0 2 cos 2 sin 2 2 0 0 cos 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 2 2 sin 2 sinh r p p I p E r p E p E x p E Z e d d e d e dp dp h h I I I e d e dx p E h p E p E                               − +       −   − − − = = = = =        （2）电极化强度 P 为 0 0 0 0 0 1 1 ln coth coth r z Z p E kT P n p n n p p E np E E kT p E           = = = − = −              。 2.15 N 个弱耦合的粒子服从玻尔兹曼分布，每个粒子可处于能量为 −     , 0, ( 0) 3 个能级 中的任何一个，设系统与温度为 T 的大热源接触，试计算： （1）T=0K 时系统的熵； （2）系统熵的极大值 max S 和极小值 min S ； （3）系统的配分函数 Z 和内能 U。 解：（1）T=0K 时，系统内所有粒子都处在 − 能级上，微观状态数 = 1 ，熵 S k =  = ln 0 （2）单粒子配分函数和粒子处在 0和 能级上的概率分布分别为 1 Z e e 1   − = + + ， 0 1 1 1 1 1 1 p p e p e , , Z Z Z   − = = = − + 当 0 T p p p → →  → → 0, , , 0, 1.  + − 0 N N N N 0, , = = = + − 微观状态数和熵分别为 min  = = = 1, 0 S S

当T→,β→0,Po~Pp=，N。=N=N_=N，微观状态数和炳分别为N!Q:[(%)]S= Smx =klnQ=k In NI-3In()/ = Nk In N -In()= Nk In3（3）系统的单粒子配分函数和内能分别为Z,=1+elm +e-m=1+2cosh Be, U =-~ --2Ne sinhβoaβ1+2coshβ2.16一系统由两个全同粒子组成，每个粒子可有三个量子态，其能量分别是0.8和2s。系统与温度为T的大热源接触，就下列诸情况写出系统的配分函数。（1）粒子可分辩，服从玻尔兹曼统计：（2）粒子不可分辩，服从玻尔兹曼统计：（3）粒子服从费米一狄拉克统计；（4）粒子服从玻色一爱因斯坦统计。解：（1）粒子可分辩，服从玻尔兹曼统计，则系统的配分函数为Z=Z =(1+e-B +e-2βs)（2）粒子不可分辩，服从玻尔兹曼统计，系统的配分函数为Z=Z =)(1+e-p +e-0m2！-1（3）粒子服从费米一狄拉克统计，系统能级的能量和简并度分别为=6,0=1;2=28,0,=1=38,,=1系统的配分函数为：Z=e-B+e-2阳+e-3（4）粒子服从玻色一爱因斯坦统计，系统能级的能量和简并度分别为60-0,0=1;8=8,0,=1;62=28,0,=2;8=38,0,=1;64=48,04=1系统的配分函数为：Z=1+e-+2e-2p+e-3B+e-4。2.17一系统由两个全同粒子组成，每个粒子可占据能级6,=n6,n=0,1,2中的任何一个，最低能级。=0是双重简并的。系统与温度为T的大热源接触，就下列诸情况写出系统的配分函数和能量。（1）粒子服从费米一狄拉克统计：（2）粒子服从玻色一爱因斯坦统计：（3）粒子不可分辩，服从玻尔兹曼统计；解：用正则分布，系统的配分函数为Z=の,e-BE，对于不同的统计，,和E,也不同

当 0 , 0, 1 3 T p p p →  →   =  + − ， 0 , 3 N N N N = = = + − 微观状态数和熵分别为 ( ) 3 ! ! 3 N N  =     max ln ln ! 3ln ! ln ln ln 3 ( ) ( ) 3 3 S S k k N Nk N Nk = =  = − = − =     N N     （3）系统的单粒子配分函数和内能分别为 1 Z e e 1 1 2cosh    − = + + = + ， 1 ln sinh 2 1 2cosh Z U N N      = − = −  + 。 2.16 一系统由两个全同粒子组成，每个粒子可有三个量子态，其能量分别是 0, 2   和 。系 统与温度为 T 的大热源接触，就下列诸情况写出系统的配分函数。 （1）粒子可分辩，服从玻尔兹曼统计； （2）粒子不可分辩，服从玻尔兹曼统计； （3）粒子服从费米－狄拉克统计； （4）粒子服从玻色－爱因斯坦统计。 解：（1）粒子可分辩，服从玻尔兹曼统计，则系统的配分函数为 ( ) 2 2 2 1 Z Z e e 1 − −   = = + + （2）粒子不可分辩，服从玻尔兹曼统计，系统的配分函数为 ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2! 2 Z Z e e − −   = = + + （3）粒子服从费米－狄拉克统计，系统能级的能量和简并度分别为 1 1 2 2 3 3          = = = = = = , 1 2 , 1 3 , 1 ； ； 系统的配分函数为： 2 3 Z e e e − − −    = + + （4）粒子服从玻色－爱因斯坦统计，系统能级的能量和简并度分别为 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4               ＝0 1 , 1 2 , 2 3 , 1 4 , 1 ， ＝ ； = = = = = = = = ； ； ； 系统的配分函数为： 2 3 4 Z e e e e 1 2 − − − −     = + + + ＋ 。 2.17 一系统由两个全同粒子组成，每个粒子可占据能级 , 0,1, 2 n   = = n n 中的任何一个， 最低能级 0  = 0 是双重简并的。系统与温度为 T 的大热源接触，就下列诸情况写出系统的 配分函数和能量。 （1）粒子服从费米－狄拉克统计； （2）粒子服从玻色－爱因斯坦统计； （3）粒子不可分辩，服从玻尔兹曼统计； 解：用正则分布，系统的配分函数为 En n n Z e   − =  ，对于不同的统计， n n 和E 也不同