倒易空间和倒易点阵晶体中的很多性质，比如电子云密度、离子实产生的势场等，都是三维空间的周期函数，一般地可以写成：3000000222u(r-Rn),1(9)V(r) =Rn=(nieN)naiEn1n2ng其中(r）定义在单胞（unitcell）中。对于任意的格失Rm(10)V(r - Rm) = V(r)周期性函数既可以在实空间表示，也可以在波失空间（倒易空间）进行表示，两者通过傅里叶变换（Fouriertransform，FT）进行转换1V(k)=V(r)e-ik-r drV(k) efkrdk(11)V(r) =Qeryscrysk-space这里2ervs是整个晶体的体积。Daa48/692月26日
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 倒易空间和倒易点阵 ❀ 晶体中的很多性质，比如电子云密度、离子实产生的势场等，都是三维空间的周期函数，一般 地可以写成： V(r) = ÿ8 n1 ÿ8 n2 ÿ8 n3 v(r ´ Rn), Rn = ÿ3 i=1 ni ai , (ni P N) (9) 其中 v(r) 定义在单胞（unit cell）中。对于任意的格矢 Rm， V(r ´ Rm) = V(r) (10) ❀ 周期性函数既可以在实空间表示，也可以在波矢空间（倒易空间）进行表示，两者通过傅里叶 变换（Fourier transform, FT）进行转换： V˜ (k) = 1 Ωcrys ż crys V(r) e ´i k¨r dr V(r) = ż k´space V˜ (k) e i k¨r dk (11) 这里 Ωcrys 是整个晶体的体积。 中国科学技术大学 2024 年 2 月 26 日 48 / 69
倒易空间和倒易点阵具体展开傅里叶变换，我们可以得到1t(r-Rn)e-ik-rdrv(k) =(12)Q.ni,n2,n31t(T)e-ik-r-ik-Ra dr(13)Merysni,na,n3cell.2. en[ u(t)e-ikT dt(14)0N..记上面红色项为入k），利用V(r）的周期性，移动任意的格矢Rm，我们可以得到如下关系=X(k)[1-e-ikRm|=0入(k) = e-ik-Rm入(k)(15)显然入（k）不能为0，因此我们可以推出以下关系式-ik-Rm=1(16)VmEN倒易空间（波矢空间）的波矢取值不是连续的！为表区别，我们将用G代替k来表示满足条件的波失。-Daa2024年2月26日49/69
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 倒易空间和倒易点阵 ❀ 具体展开傅里叶变换，我们可以得到 V˜ (k) = 1 Ωcrys ż crys ÿ n1,n2,n3 v(r ´ Rn) e ´i k¨r dr (12) = 1 Ωcrys ÿ n1,n2,n3 ż cell v(τ ) e ´i k¨τ e ´i k¨Rn dτ (13) = [ 1 Ncell ÿ n1,n2,n3 e ´i k¨Rn ] ¨ 1 Ωcell ż cell v(τ ) e ´i k¨τ dτ (14) 记上面红色项为 λ(k)，利用 V(r) 的周期性，移动任意的格矢 Rm，我们可以得到如下关系 λ(k) = e ´i k¨Rm λ(k) ñ λ(k) [ 1 ´ e ´i k¨Rm ] = 0 (15) 显然 λ(k) 不能为 0，因此我们可以推出以下关系式 e ´i k¨Rm = 1 @m P N (16) ☞ 倒易空间（波矢空间）的波矢取值不是连续的！为表区别，我们将用 G 代替 k 来表示满足条件 的波矢。 中国科学技术大学 2024 年 2 月 26 日 49 / 69
倒易空间和倒易点阵定义对于布拉维格子中的所有格失R，满足-IGt-Rm=1(17)或者(18)GL-Rm=2元nVnEN的全部GL的端点的集合，称为该布拉维格子（正格子或正点阵）的倒格子（倒易点阵）。周期性函数V(r）及其傅里叶变换1u(r)e-iG-r drv(G) =(19)QcEV(G)eiG-rV(r) = (20)LDaa2024年2月26日50/69
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 倒易空间和倒易点阵 对于布拉维格子中的所有格矢 Rn，满足 e ´i GL¨Rm = 1 (17) 或者 GL ¨ Rm = 2πn @n P N (18) 的全部 GL 的端点的集合，称为该布拉维格子（正格子或正点阵）的倒格子（倒易点阵）。 定义 ❀ 周期性函数 V(r) 及其傅里叶变换 V˜ (G) = 1 Ωc ż uc v(r)e ´i G¨r dr (19) V(r) = ÿ8 L V˜ (G)e i G¨r (20) 中国科学技术大学 2024 年 2 月 26 日 50 / 69
一维周期性函数傅里叶变换一维布拉维格子上的周期性函数Rm=ma(L,me N)(21)GL=21LG [2m/a]一般情况下，V(G）在倒空间是逐渐收敛的，超过一定截断Gc，V(G)的强度可忽略。V(）在实空间越平滑（峰越宽)，则V(G）在倒空间收敛越快；反之实空间峰越窄，则收敛越慢0001/de
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 一维周期性函数傅里叶变换 ❀ 一维布拉维格子上的周期性函数 Rm = ma GL = 2π a L (L, m P N) (21) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x [a] V(x) [arb. u nits] -15 -10 -5 0 5 10 15 G [2 /a] |V(G)| [arb. u nits] ❁ 一般情况下，V˜ (G) 在倒空间是逐渐收敛的，超过一定截断 Gc，V˜ (G) 的强度可忽略。 ❁ V(x) 在实空间越平滑（峰越宽），则 V˜ (G) 在倒空间收敛越快；反之实空间峰越窄，则收敛越慢。 中国科学技术大学 2024 年 2 月 26 日 51 / 69
倒易点阵是倒易空间的布拉维格子根据定义，我们知道倒格矢满足如下关系(22)GL-a1=2rL1,(L;e N)GL:a2=2元L2tGLa3=2元L3因此，我们可以把倒格失写成(23)GL= Li bi + L2 b2+ Lsb3(24)ag-bj= 2moij根据式（23），倒格子是倒易空间中以b，为基失的布拉维格子Daa202452/69年2月26日
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 倒易点阵是倒易空间的布拉维格子 ❀ 根据定义，我们知道倒格矢满足如下关系 GL ¨ a1 = 2πL1, GL ¨ a2 = 2πL2, GL ¨ a3 = 2πL3 (Li P N) (22) 因此，我们可以把倒格矢写成 GL = L1 b1 + L2 b2 + L3 b3 (23) ai ¨ bj = 2πδij (24) ☞ 根据式(23)，倒格子是倒易空间中以 bi 为基矢的布拉维格子！ 中国科学技术大学 2024 年 2 月 26 日 52 / 69