《热学热力学与统计物理》课程教学资源（教材讲义，下）习题参考答案（1-2）

热学、热力学与统计物理（下册）习题参考答案第一章1.1在城市的某街区A住着一位年轻人，B处住着他的女友，B在A的东边m个街区，在A的北边n个街区（例如，当n=3,m=4时如图1.1所示）。年轻人步行到他女友的住处，所走的路线总是一步一步更接近她，从不走回头路。试问年轻人从A到B共有多少种不同的行走路线？B-n=3m=4图 1.1解：在某一拐角处，他可以向东（E），也可以向北（E)，E和N的个数分别为m和n。因此，一个特定的路线可用E和N的排列给定。例如图中所示的路线序列为E,N,N,E,E,E,N)。这种序列的个数共有(m+n)!m!n!1.2（1）若左右各有一个方格，一个球可能进入左边格子，也可能进入右边格子，概率各为1。证明N个球中有N，个进入左边格子，其余N－N，个进入右边格子的概率为2N!-1P(N.)=22N N,!(N-N,)!若一个球进入左边格子的概率为p，进入右边格子的概率为q=1-p，证明N个球中有N，个进入左边格子，其余N-N.个进入右边格子的概率为N!P(m)=m.(n-m)jiD"ag-P(N,)=1:（2）证明：N,=0ZN,P(N,)= Np, (N,-N,)= JNpq(3)证明：N,=N,=0

热学、热力学与统计物理（下册） 习题参考答案 第一章 1.1 在城市的某街区 A 住着一位年轻人，B 处住着他的女友，B 在 A 的东边 m 个街区，在 A 的北边 n 个街区（例如，当 n=3, m=4 时如图 1.1 所示）。年轻人步行到他女友的住处，所 走的路线总是一步一步更接近她，从不走回头路。试问年轻人从 A 到 B 共有多少种不同的 行走路线？ 图 1.1 解：在某一拐角处，他可以向东（E）,也可以向北（E），E 和 N 的个数分别为 m 和 n。因 此，一个特定的路线可用 E 和 N 的排列给定。例如图中所示的路线序列为（E,N,N,E,E,E,N）。 这种序列的个数共有 ( )! ! ! m n m n + 。 1.2 （1）若左右各有一个方格，一个球可能进入左边格子，也可能进入右边格子，概率各为 1 2 。证明 N 个球中有 N1 个进入左边格子，其余 N N− 1 个进入右边格子的概率为 ( ) ( ) 1 1 1 1 ! 2 ! ! N N P N N N N = − 若一个球进入左边格子的概率为 p，进入右边格子的概率为 q p = −1 ，证明 N 个球中有 N1 个进入左边格子，其余 N N− 1 个进入右边格子的概率为 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 ! ! ! N N N N P N p q N N N − = − （2）证明： ( ) 1 1 0 1 N N P N =  = ； （3）证明： ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 1 0 , N N N N P N Np N N Npq = = = − = 

解：（1）将N,个球进入左格，N-N,个球进入右格的概率为pgN-N。而N个球中选NN!个球进入左格，选N-N,个球进入右格的可能的方式数共有CN：所以NN,!(N-N)!个球中有N，个进入左边格子，其余N－N，个进入右边格子的概率为N!"gN-NP(N,)=CNp"qN-MN,(N-N,)!N!1时，P(N)=当p=qN,(N-N,)!2（2）由二项式定理得N!2P(M)=22. M.(N-M,)PgN-M =(P+g)"=1N.=0N!ZN4(3) N, =pNgN-MCN,P(N,)="N,(N-N)!N,=0N,=0N!=(Pg]-[(p+q= N(N,-M) =N-N!--N.slN.=0-([2-()[(p+g)"=N"p* +Np因此，(N,-M) =Np +Npq-(Np)- /Npg1.3一个醉汉从一路灯处开始行走，每一步走过长为的距离，每一步的方向随机地取东南西北四个方向中的一个。问醉汉在走了三步以后仍处于以路灯为中心、半径为21的圆内的概率是多少？解：醉汉每走一步有4种走法，走3步共有43=64种走法。走出圆外的走法有两类：（1）走直线，4个方向共有4种走法；（2）两步向前，一步横走，共有CCC=24。因此，醉汉在走了三步以后仍处于以路灯为中心、半径为21的圆内的概率

解：（1）将 N1 个球进入左格， N N− 1 个球进入右格的概率为 N N N 1 1 p q − 。而 N 个球中选 N1 个球进入左格，选 N N− 1 个球进入右格的可能的方式数共有 ( ) 1 1 1 ! ! ! N N N C N N N = − 。所以 N 个球中有 N1 个进入左边格子，其余 N N− 1 个进入右边格子的概率为 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 ! ! ! N N N N N N N N N P N C p q p q N N N − − = = − 当 1 2 p q = = 时， ( ) ( ) 1 1 1 1 ! 2 ! ! N N P N N N N = − 。 （2）由二项式定理得 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 0 1 1 ! 1 ! ! N N N N N N N N N P N p q p q N N N − = = = = + = −   （3） ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 ! ! ! N N N N N N N N N N P N N p q N N N − = = = = −  ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 ! ! ! N N N N N N N p p q p p q Np p N N N p − =     = = + =      −       ( ) 2 2 2 N N N N 1 1 1 1 − = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 2 2 0 1 1 ! ! ! ! ! ! N N N N N N N N N N N N N N N N P N N p q N N N N p p q p p q N p Npq p N N N p − = = − = = = −         = = + = +          −             因此， ( ) ( ) 2 2 2 2 N N N p Npq Np Npq 1 1 − = + − = 1.3 一个醉汉从一路灯处开始行走，每一步走过长为 l 的距离，每一步的方向随机地取东南 西北四个方向中的一个。问醉汉在走了三步以后仍处于以路灯为中心、半径为 2l 的圆内的 概率是多少？ 解：醉汉每走一步有 4 种走法，走 3 步共有 3 4 64 = 种走法。走出圆外的走法有两类：（1） 走直线，4 个方向共有 4 种走法；（2）两步向前，一步横走，共有 1 1 1 4 3 2 C C C = 24 。因此，醉 汉在走了三步以后仍处于以路灯为中心、半径为 2l 的圆内的概率

C(4 + 24) =p(3)=1-6416N!1.4 证明在 N>1]与 p<1的情形下,二项式分布 P()=m(N-m) P'g"-可近似用治松分布 P(n)=e"来表示，式中万=Np为n的平均值。n!解：在p<<1的情形下，由于P(n)中含有因子p"，当n大时P(n)趋于零。因此，仅当n<<N时，P(n)才有可观的数值N!= N(N-1).(N-n+I) ~N"(N-n)!InqN-"=(N-n)In(1-p)=-Np,因此有qN-n~e-Np=e-mP(n)可近似表示为P(n)-(p"_ (n!n!其中n=Np。上式即为泊松分布。N!1.5证明在N>>1及p、相差不大的情形下，二项式分布P(n)："可近n!(N-n)!1(n-n)似用高斯分布P(n)=来表示，式中n=Np为n的平均值， 2(n)22元(An)(An) =(n-n)=Npq为(n-)"的平均值。解：在N很大，且p,q相差不大的情形下，二项式分布将在一个很大的n处有一个尖锐的极大值，当n明显偏离n时概率分布P(n）将趋于零。因此，只要研究P(n)在极大值n附近的行为就足够了。当N很大时，n也很大，在n附近的n也很大，n改变1所引起的P（n）的改变是相对微小的，即

( ) ( ) 1 9 3 1 4 24 64 16 p = − + = 1.4 证明在 N 1 与 p 1 的情形下，二项式分布 ( ) ( ) ! ! ! N n N n P n p q n N n − = − 可近似用泊 松分布 ( ) ! n n n P n e n − = 来表示，式中 n Np = 为 n 的平均值。 解：在 p 1 的情形下，由于 P n( ) 中含有因子 n p ，当 n 大时 P n( ) 趋于零。因此，仅当 n  N 时， P n( ) 才有可观的数值 ( ) ( ) ( ) ! 1 1 ! N n N N N n N N n = − − +  − ln ln 1 ( ) ( ) N n q N n p Np − = − −  − ，因此有 N n Np n q e e − − −  = P n( ) 可近似表示为 ( ) ( ) ( ) ! ! n n Np n n n P n e e n n − − = = 其中 n Np = 。上式即为泊松分布。 1.5 证明在 N 1 及 p、q 相差不大的情形下，二项式分布 ( ) ( ) ! ! ! N n N n P n p q n N n − = − 可近 似用高斯分布 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 exp 2 2 n n P n  n n   − = −        来表示，式中 n Np = 为 n 的平均值， ( ) ( ) 2 2  = − = n n n Npq 为 ( ) 2 n n − 的平均值。 解：在 N 很大，且 p q, 相差不大的情形下，二项式分布将在一个很大的 n 处有一个尖锐的 极大值，当 n 明显偏离 n 时概率分布 P n( ) 将趋于零。因此，只要研究 P n( ) 在极大值 n 附 近的行为就足够了。当 N 很大时， n 也很大，在 n 附近的 n 也很大，n 改变 1 所引起的 P n( ) 的改变是相对微小的，即

[P(n + 1)- P(n)< P(n)dPP(n)可近似看作为n 的连续函数，使P(n)取极大值的由=0来确定。为此我们dn来讨论随n变化比较缓慢的InP(n)的极大值。In P(n)= In N!-In(N-n):-lnnl+nln p+(N-n)inq由于 dinn!_ In(n+1)-Inn!(n+1)!～nn，所以ndn1n!d ln P(n)2=-Ilnn+In(N-n)+In p-Inqdnd ln P(n)=0解得由dnn=nn=Np=n这就是说P(n)的最概然值n和平均值n重合。将P(n)在n附近作泰勒展开，只取到n-n的二次项In P(n)=In P(1)+I+2n (0)(n-)P(n)的二次微商为d° In P(n)11Ndn?n(N-n)nN-n2由此得d In P(n)1N1dn?Npqn(N-n)(An)2因此有(n-n)2In P(n) = In P() -2(μn)或者P(n) = P(n)exp2(An)

P(n +1)− P(n)  P(n) P n( ) 可近似看作为 n 的连续函数，使 P n( ) 取极大值的 n 由 0 n n dP dn = = 来确定。为此我们 来讨论随 n 变化比较缓慢的 ln P n( ) 的极大值。 ln ln ! ln ! ln ! ln ln P n N N n n n p N n q ( ) = − − − + + − ( ) ( ) 由于 ln ! ln 1 ! ln ! 1 ! ( ) ( ) ln ln 1 ! d n n n n n dn n + − +  =  ，所以 ( ) ( ) ln ln ln ln ln d P n n N n p q dn = − + − + − 由 ln ( ) 0 n n d P n dn = = 解得 n Np n = = 这就是说 P n( ) 的最概然值 n 和平均值 n 重合。将 P n( ) 在 n 附近作泰勒展开，只取到 n n − 的二次项 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ln ln ln 2 n n d P n P n P n n n dn = = + − P n( ) 的二次微商为 ( ) ( ) 2 2 d P n ln 1 1 N dn n N n n N n = − − = − − − 由此得 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ln 1 1 n n d P n N dn n N n Npq = n = − = − = − −  因此有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ln ln 2 n n P n P n n − = −  或者 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 exp 2 n n P n P n n   − = −      

其中P(n)可由归一化条件给出n-nZP(n) ~ P(n)[~ expdn = P(n)V/2元(△n) = 12(An)21得P(n):最后得到高斯分布/2元(An)ns1P(n):2(△n)2元（4）1.6已知质量为m、弹性常数为k的一维经典谐振子的能量为E，但它的位置是不确定的。试求谐振子的位置在x-x+dx之间的概率p(x)dx。解：设谐振子的振幅为1，周期为T，振子的能量E等于1Imx2+1hx?E=222E-kx2dx式中文=为振子的速度，振子的周期T为dtmdxmVk2E-kx2m谐振子的位置在x-x+dx之间的概率为kP(x)dx=2±_ 2m-dx:dxTTV2E-kx元（2E-k21.7设一维粒子的运动范围为x≥0，在x-x+d间隔内出现粒子的概率为p(x)dx=Ce-αdx，其中α>0,C为归一化常数，求(1) x及(x):(2）若y2=x，试求。解：（1)由归一化条件f°p(x)dx=C"e-αdx==1得C=αar(n+1)=n!1- Jx"p(x)dx=af.x'e"dx=-α"α

其中 P n( ) 可由归一化条件给出 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 exp 2 1 2 n n P n P n dn P n n n   −   −  − =  =          得 ( ) ( ) 2 1 2 P n  n =  ，最后得到高斯分布 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 exp 2 2 n n P n  n n   − = −        1.6 已知质量为 m、弹性常数为 k 的一维经典谐振子的能量为 E，但它的位置是不确定的。 试求谐振子的位置在 x − x + dx 之间的概率 p x dx ( ) 。 解：设谐振子的振幅为 l ，周期为 T，振子的能量 E 等于 1 1 2 2 2 2 E mx kx = + 式中 2 dx E kx 2 x dt m − = = 为振子的速度，振子的周期 T 为 2 2 2 2 2 l l l l dx m T dt E kx k m  − − = = = −   谐振子的位置在 x − x + dx 之间的概率为 ( ) 1 2 2 2 2 1 2 2 2 dt m k p x dx dx dx T T E kx E kx    = = =   − −   1.7 设一维粒子的运动范围为 x  0 ， 在 x − x + dx 间 隔 内 出 现 粒 子 的 概 率 为 ( ) x x dx Ce dx   − = ，其中   0, C 为归一化常数，求 （1） ( ) 2 n x x 及  ； （2）若 2 y x = ，试求 n y 。 解：（1）由归一化条件 ( ) 0 0 1, x C x dx C e dx C       − = = = =   得 ( ) ( ) 0 0 1 ! 1 n n n x n n n x x x dx x e dx n        − = = =  + =  