习题与答案第一章习题1.在城市的某街区A住着一位年轻人，B处住着他的女友，B在A的东边m个街区，在A的北边n个街区（例如，当n=3,m=4时如图1.1所示）。年轻人步行到他女友的住处，所走的路线总是一步一步更接近她，从不走回头路。试问年轻人从A到B共有多少种不同的行走路线？En=3m=4图1.1(m+n)!【答：共有种行走路线】m!n!2：（1）若左右各有一个方格，一个球可能进入左边格子，也可能进入右边格子，概率各为1。证明N个球中有N，个进入左边格子，其余N-N，个进入右边格子的概率为2N!1P(N.)=22N N,I(N-N,)!若一个球进入左边格子的概率为p，进入右边格子的概率为q=1-p，证明N个球中有N个进入左边格子，其余N-N,个进入右边格子的概率为N!N(N-N,)P"g"-MP(N.)=≥ P(M)=1:（2）证明：N,=0Z N,P(N,)= Np, /(N,-M,) = /Npq(3)证明：N,=N,=03．一个醉汉从一路灯处开始行走，每一步走过长为1的距离，每一步的方向随机地取东南西北四个方向中的一个。问醉汉在走了三步以后仍处于以路灯为中心、半径为21的圆内的概率是多少？221
221 习题与答案 第一章习题 1．在城市的某街区 A 住着一位年轻人，B 处住着他的女友，B 在 A 的东边 m 个街区，在 A 的北边 n 个街区（例如，当 n=3, m=4 时如图 1.1 所示）。年轻人步行到他女友的住处，所走 的路线总是一步一步更接近她，从不走回头路。试问年轻人从 A 到 B 共有多少种不同的行 走路线？ 图 1.1 【答：共有 ( )! ! ! m n m n + 种行走路线】 2．（1）若左右各有一个方格，一个球可能进入左边格子，也可能进入右边格子，概率各为 1 2 。证明 N 个球中有 N1 个进入左边格子，其余 N N− 1 个进入右边格子的概率为 ( ) ( ) 1 1 1 1 ! 2 ! ! N N P N N N N = − 若一个球进入左边格子的概率为 p，进入右边格子的概率为 q p = −1 ，证明 N 个球中有 N1 个进入左边格子，其余 N N− 1 个进入右边格子的概率为 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 ! ! ! N N N N P N p q N N N − = − （2）证明： ( ) 1 1 0 1 N N P N = = ； （3）证明： ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 1 0 , N N N N P N Np N N Npq = = = − = 。 3．一个醉汉从一路灯处开始行走，每一步走过长为 l 的距离，每一步的方向随机地取东南 西北四个方向中的一个。问醉汉在走了三步以后仍处于以路灯为中心、半径为 2l 的圆内的 概率是多少？
9【答：P(3)=16N!4.证明在N》1与p<1的情形下，二项式分布P(n)=“nl(N-n)P"g"可近似用泊松e-"来表示，式中n=Np。分布 P(n)=n!N!"可近5.证明在N》1及p、q相差不大的情形下，二项式分布P(n)=n!(N-n)!1(n-n)来表示，式中n=Np为n的平均值，似用高斯分布P(n)=2(An)2元(An)L(An)=(n-n)=Npq为(n-n)的平均值。6.已知质量为m、弹性常数为k的一维经典谐振子的能量为E，但它的位置是不确定的。试求谐振子的位置在x~x+dx之间的概率p(x)dx。11(k[答:P(x)dx=-dx )元（2E-k27.设一维自由粒子的运动范围为x≥0,在x~x+dx间隔内出现粒子的概率为p(x)dx=Ce-dx，其中α>0,C为归一化常数，求(1) x"及(Ax)%;(2）若y=x，试求。【答：（)(A：（2）74第二章习题1.一个质量为m的粒子在一个边长为L的立方体的盒子中作自由运动，粒子的能量222
222 【答： ( ) 9 3 16 P = 】 4．证明在 N p 1 1 与 的情形下，二项式分布 ( ) ( ) ! ! ! N n N n P n p q n N n − = − 可近似用泊松 分布 ( ) ! n n n P n e n − = 来表示，式中 n Np = 。 5．证明在 N 1 及 p、q 相差不大的情形下，二项式分布 ( ) ( ) ! ! ! N n N n P n p q n N n − = − 可近 似用高斯分布 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 exp 2 2 n n P n n n − = − 来表示，式中 n Np = 为 n 的平均值， ( ) ( ) 2 2 = − = n n n Npq 为 ( ) 2 n n − 的平均值。 6．已知质量为 m、弹性常数为 k 的一维经典谐振子的能量为 E，但它的位置是不确定的。 试求谐振子的位置在 x x dx + 之间的概率 p x dx ( ) 。 【答： ( ) 1 2 2 1 2 k p x dx dx E kx = − 】 7 ．设一维自由粒子的运动范围为 x 0 ,在 x x dx + 间隔内出现粒子的概率为 ( ) x x dx Ce dx − = ，其中 0, C 为归一化常数，求 （1） ( ) 2 n x x 及 ； （2）若 2 y x = ，试求 n y 。 【答：（1） ( ) 2 2 ! 1 , n n n x x = = ；（2） 2 1 1 2 n n n y = + 】 第二章习题 1．一个质量为 m 的粒子在一个边长为 L 的立方体的盒子中作自由运动，粒子的能量
h2n，中h为普朗克常数n=++，量子n，,n=0,,..(n)=n试分别给出当n=0,1,2,3,4时能级s(n)所包含的量子态(nz,n,,n.)及简并度o(n)。[答: 0(0)=1,0(1)=6,0(2)=12, 0(3)=8, 0(4)=6 )2.一个由N个可分辩的近独立的三维谐振子组成的系统，其个体量子态用量子数(n,n,n.)标记，态(nn,n.)的能量为e(n)=(n +n, +n. +式中h为普朗克常数，v为谐振子的振动频率，n=n+n,+n.，量子数nx,ny,n.=0,1,2.……。写出谐振子个体能级及简并度的表达式；设达到平衡态时系统的温度为T，求系统的内能、熵和自由能。(1+-1【 答 :s(n)={n+号)hv,0(n)=(n+1)(n+2), U=3Nhv2e/kr-]hvKT-In(1-e% ) ], = 3Nk7[n(-e%)+ %/k ]nS=3Nke/hr -13.试求在极端相对论情形下，分子的能量和动量的关系为ε=pc的玻尔兹曼理想气体的内能、熵、定容热容量、自由能和压强。8元VKI+ 31n【答：U=3NkT,S=Nk】]C=3NkF=-NKTIn se([p=k1X4.被吸附在固体表面上的单原子分子能在表面上自由运动，可把它看成二维理想气体。试求分子的平均速率、最概然速率和方均根速率。元kTKT2kT【答：VpVsV2mVmm5.设质量为m的单原子分子组成的理想气体处于温度为T的热力学平衡态，从气体中任取两个分子，求其总能量在8～6+dc范围内的概率（)ds和平均能量的表达式。223
223 ( ) 2 2 2 h n n mL = ，式中 h 为普朗克常数， 2 2 2 x y z n n n n = + + ，量子数 , , 0, 1, 2, x y z n n n = 。 试分别给出当 n = 0,1,2,3,4 时能级 (n) 所包含的量子态 (n n n x y z , , ) 及简并度 (n) 。 【答： (0 1, 1 6 , 2 12, 3 8 , 4 6 ) = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 】 2．一个由 N 个可分辩的近独立的三维谐振子组成的系统，其个体量子态用 量子数 (n n n x y z , , ) 标记，态 (n n n x y z , , ) 的能量为 ( ) 3 2 x y z n n n n h = + + + 式 中 h 为普朗克常数， 为谐振子的振动频率， x y z n n n n = + + ， 量 子 数 , , 0,1,2, x y z n n n = 。写出谐振子个体能级及简并度的表达式；设达到平衡态时系统的温 度为 T，求系统的内能、熵和自由能。 【 答 ： ( ) ( ) ( )( ) 3 1 , 1 2 2 2 n n h n n n = + = + + ， 1 1 3 , 2 1 h kT U Nh e = + − ( ) ( ) 3 ln 1 , 3 ln 1 2 1 h h kT kT h kT h kT h S Nk e F NkT e kT e − − = − − = − + − 】 3．试求在极端相对论情形下，分子的能量和动量的关系为 = pc 的玻尔兹曼理想气体的内 能、熵、定容热容量、自由能和压强。 【答： 8 3 , ln 3ln 4 , 3 V V kT U NkT S Nk C Nk N hc = = + + = 3 ln 8 , V kT N F NkT e p kT N hc V = − = 】 4．被吸附在固体表面上的单原子分子能在表面上自由运动，可把它看成二维理想气体。试 求分子的平均速率、最概然速率和方均根速率。 【答： 2 , , 2 P S kT kT kT v v v m m m = = = 】 5．设质量为 m 的单原子分子组成的理想气体处于温度为 T 的热力学平衡态，从气体中任取 两个分子，求其总能量在 + d 范围内的概率 ( )d 和平均能量的表达式
(kT)e-%de,E=3kT)【答：(e)de=6.用q1,92，,93%表示3N个自由度系统状态的广义坐标，相应于坐标q,的广义力是XaH若系统的哈密顿量是H，则X=试证明维里定理aqi3NZq,X, =-3NkTi=l其中T是气体的温度。特别是当具有相互作用势能为U(gi,92",93w）的N个分子组成的气体被封闭在体积为V的容器中时，维里定理取如下形式1upV = NkT_-329其中p是气体分子施加于容器壁的压强。这里q1,92,93是确定N个分子位置的笛卡儿坐标。7.设一维振子系统处于温度为T的平衡态，振子的势能u=ax4a为常数，试根据维里定律和能量均分定理求振子的平均能量。kT)【答：=48.在狭义相对论中，质量为m质点的动量和能量分别为mv,(i= x, y, 2)P, =Vi-(ve)mc?5Ji-(ve)其中c是光速，V=++v?是质点的速率。证明由麦克斯韦一玻尔兹曼分布给出1my212kT79，假设一个角动量为J的磁矩沿磁场H方向的分量可取任意一个分立值224
224 【答： ( ) ( ) 3 1 2 , 3 2 kT d kT e d kT − − = = 】 6．用 1 2 3 , , , N q q q 表示 3N 个自由度系统状态的广义坐标，相应于坐标 i q 的广义力是 Xi ， 若系统的哈密顿量是 H ，则 i i H X q = − ，试证明维里定理 3 1 3 N i i i q X NkT = = − 其中 T 是气体的温度。 特别是当具有相互作用势能为 ( ) 1 2 3 , , , U q q q N 的 N 个分子组成的气体被封闭在体积 为 V 的容器中时，维里定理取如下形式 3 1 1 3 N i i i U pV NkT q = q = − 其中 p 是气体分子施加于容器壁的压强。这里 1 2 3 , , , N q q q 是确定 N 个分子位置的笛卡儿 坐标。 7．设一维振子系统处于温度为 T 的平衡态，振子的势能 4 u ax a = , 为常数，试根据维里定 律和能量均分定理求振子的平均能量。 【答： 3 4 = kT 】 8．在狭义相对论中，质量为 m 质点的动量和能量分别为 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , , 1 1 i i mv p i x y z v c mc v c = = − = − 其中 c 是光速， 2 2 2 x y z v v v v = + + 是质点的速率。证明由麦克斯韦－玻尔兹曼分布给出 ( ) 2 2 1 1 2 2 1 mv kT v c = − 9 ． 假 设 一个角动量为 J 的 磁 矩 沿磁场 H 方向的分量可取任意一个分立值
gμgm(m=J,J-1"-J+1,-J)，其中J为角动量量子数，m为磁量子数，g为旋磁比。磁矩之间的相互作用可以忽略不计。试计算单位体积内含有n个磁矩的物体的磁化强度M；计算在高温和弱磁场情形下（gμgJ<kT）的磁化率X。考察当J=为2J→00,μg→0而gμgJ→时的磁化率。[ =A (“), 中β()-(--coth在高温和弱磁场下=n+)"m,当=时,=ng°/k?“"/4kT：当J→0,3kT2μ→0及gμJ→时,=13kT10.考虑一个由N（N》1)个可分辩的、不能自由运动的、无相互作用的原子组成的系统，每个原子可以占据两个非简并能级：0和ε>0，E为每个原子的平均能量。（1）E/的最大可能值是多少？（注意：系统不一定处于平衡态)。如果系统处于热平衡A态，E/可达到的最大值是多少？A（2）在热平衡下，由%来表示每个原子的摘%【答：（1)（) 8，若系统处于平衡态(F/)-号E1ES=k/InN/N(2)N-N6211.设粒子的能量和动量间的关系为s=αp（α为常数,s=1,2;p=(p++…+p）的粒子组成的n维理想气体，不论这些粒子是服从玻尔兹曼分布、玻色分布还是费米分布，证明气体的内能U和压强p都满足同样的关系：pV==U，其中V为气体的体积。n12.一分子晶体由N个同核双原子分子A组成，每个分子可以在它所在的格点上自由转动转动惯量为I，每个分子的两个核作相对振动，振动的圆频率为の，设A原子核的自旋为零。试求晶体的定容热容量C与晶体温度T之间的关系。225
225 ( , 1, , 1, ) B g m m J J J J = − − + − ，其中 J 为角动量量子数，m 为磁量子数，g 为旋磁比。 磁矩之间的相互作用可以忽略不计。试计算单位体积内含有 n 个磁矩的物体的磁化强度 M； 计算在高温和弱磁场情形下 ( ) B g J kT 的 磁 化 率 。考察 当 1 2 J = 和 0 , 0 B B J g J → → → 而 时的磁化率 。 【答： B B J g JH M ng JB kT = ，其中 ( ) 2 1 2 1 1 coth coth 2 2 2 2 J J J x B x x J J J J + + = − 在高温和弱磁场下 ( ) 2 2 2 2 1 1 , 4 3 2 B B J J g ng n J kT kT + = = = 当 时， ；当 J → ， 2 0 0 3 B B o n g J kT → → = 及 时， 】 10．考虑一个由 N N( 1) 个可分辩的、不能自由运动的、无相互作用的原子组成的系统， 每个原子可以占据两个非简并能级：0 和 0， E N 为每个原子的平均能量。 （1） E N 的最大可能值是多少？（注意：系统不一定处于平衡态）。如果系统处于热平衡 态， E N 可达到的最大值是多少？ （2）在热平衡下，由 E N 来表示每个原子的熵 S N 。 【答：（1） ( )max E N = ，若系统处于平衡态 ( )max 2 E N = ； （2） ln ln 1 ln E E S E E N N k N N N = − − − − 】 11．设粒子的能量和动量间的关系为 s = p （ 为常数，s＝1,2； ( ) 1 2 2 2 2 1 2 n p p p p = + + + ） 的粒子组成的 n 维理想气体，不论这些粒子是服从玻尔兹曼分布、玻色分布还是费米分布， 证明气体的内能 U 和压强 p 都满足同样的关系： s pV U n = ，其中 V 为气体的体积。 12．一分子晶体由 N 个同核双原子分子 A2 组成，每个分子可以在它所在的格点上自由转动， 转动惯量为 I，每个分子的两个核作相对振动，振动的圆频率为 ，设 A 原子核的自旋为 零。试求晶体的定容热容量 CV 与晶体温度 T 之间的关系