⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数 的条件低的多 例1设∫(x)是周期为2z的周期函数,它在l,z) 上的表达式为 1,-丌≤x<0, ∫(x)= 1,0≤x<丌 将其展开为傅立叶级数. 解所给函数满足收敛定理的条件,它在点x=kx (k=0,±1,±2,…)处不连续,在其他点连续,从而由收敛 定理知道f(x)的傅里叶级数收敛,并且当x=kx时 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数 的条件低的多. 解 例 1 设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为 将其展开为傅立叶级数. f ( x) 2 [− , ) − − = 1, 0 . 1, 0, ( ) x x f x 所给函数满足收敛定理的条件，它在点 x = k (k = 0,1,2, ) 处不连续，在其他点连续，从而由收敛 定理知道 f ( x) 的傅里叶级数收敛，并且当 x = k 时
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 级数收敛于 1+11+(-1) 2 当x≠k丌时级数收敛于f(x) 计算傅里叶系数如下: f(x)cos nxd 丌-丌 (1)cos ndx cos nr d x 0 =0(n=1,2,…) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 级数收敛于 0, 2 1 ( 1) 2 1 1 = + − = − + 当 x k 时级数收敛于 f ( x). 计算傅里叶系数如下： − = an f (x)cosnxdx 1 = − + − 0 0 1 cos 1 ( 1)cos 1 nxdx nxdx = 0 (n = 1,2, );
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o f(r)sinned 元 (1)sin nxx+-1 sinned 元 元 2 1-(-1)" n兀 n=1,3,5 n兀 0,n=2,4,6, tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics − = bn f (x)sinnxdx 1 = − + − 0 0 1 sin 1 ( 1)sin 1 nxdx nxdx [1 ( 1) ] 2 n n = − − = = = 0, 2,4,6, , 1,3,5, 4 n n n
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 将求得的系数带入,就得到∫(x)的傅里叶级数展开式 ∫(x)=-|sinx+sin3x+…+ 2k-tsi(2k-1)x+… (-∞<x<+∞x≠0,土丌,2兀,… tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 将求得的系数带入，就得到 f ( x) 的傅里叶级数展开式 sin(2 1) ] 2 1 1 sin3 3 1 [sin 4 ( ) − + − = + + + k x k f x x x (− x + ; x 0, ,2 , )