定理8.向量组与其极大无关组等价： 推论向量组的任意两个极大无关组等价 定理9向量组阝1，阝2，B,可由C,C2,.,0,线性 表示，若t>S,则阝，阝2，阝，线性相关 推论1（逆否命题）B,阝，阝，线性无关，且可由 a1,02,.,0C,线性表示→t≤了 推论2等价的线性无关向量组所含向量个数相等. 推论3向量组的所有极大无关组所含向量个数相等 定理10Q,Q2,.,Q,可由阝1，阝2，.，阝，线性表示 →(C1,C2,.,0上r(f,f2,B,) 推论：等价的向量组秩相等 定理11矩阵A的行秩三矩阵A的列秩三矩阵A的秩
定理8.向量组与其极大无关组等价. 推论 向量组的任意两个极大无关组等价 定理9 向量组 可由 线性 表示,若t > s，则 线性相关. , , , 1 2 t , , , 1 2 s , , , 1 2 t 推论3 向量组的所有极大无关组所含向量个数相等 推论1(逆否命题) t s 推论2 等价的线性无关向量组所含向量个数相等. , , , 1 2 s , , , 1 2 t 线性表示 线性无关，且可由 定理10 推论：等价的向量组秩相等. ( , , , ) ( , , , ) s t r r 1 2 1 2 , , , 1 2 s , , , 可由 1 2 t 线性表示 ≤ 定理11 矩阵A的行秩＝矩阵A的列秩＝矩阵A的秩
3.5线性方程组解的结构 、线性方程组有解的判定定理 定理1.线性方程组()有解台r(A)=r() 证明： C12 C1r+1 d C22 C2r+1 d, 由31有 。 行变换 0 Crn d, (c0, 0 =1,2, 0 0 必要时可重 新安排未知 量的顺序) ◆
一、线性方程组有解的判定定理 定理1. 线性方程组(1)有解 = r A r A ( ) ( ) r r n r r n rr rr rn r r c c c c c d c c c c d c c c d A d + + + + ⎯⎯⎯→ 11 12 1 1 1 1 1 22 2 2 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (cii≠0， i=1,2,.,r 必要时可重 新安排未知 量的顺序) 证明: 行变换 由3.1有 3.5 线性方程组解的结构
推论1线性方程组(1)有唯一解→r(A)=r()=n 推论2线性方程组（有无穷多解→(A)=(A)≤n 推论3齐次线性方程组(2)只有零解一r(A)=n 推论4.齐次线性方程组(2)有非零解一r(A)≤n 例1.讨论入为何值时，方程组有解 X1+2x2-3-2x4=0 2X1-X2-X3+X4=1 3x1+x2-2x3-x4=九 二、齐次线性方程组解的结构 1.齐次线性方程组解的性质 1)两解之和仍是解1，门2→门+门2 2)常数乘以解仍是解7→k7 3)若干解的线性组合仍是解k☑，+k门2+.k,门
推论1 线性方程组(1)有唯一解 = = r A r A n ( ) ( ) 推论2 线性方程组(1)有无穷多解 = r A r A n ( ) ( ) 推论3 齐次线性方程组 = r A n ( ) (2)只有零解 推论4. 齐次线性方程组(2)有非零解 r A n ( ) 二、齐次线性方程组解的结构 1.齐次线性方程组解的性质 1)两解之和仍是解 1 2 1 2 , + 2)常数乘以解仍是解 k 3)若干解的线性组合仍是解 1 1 2 2 s s k k k + + 例1. 讨论 为何值时，方程组有解 x x x x x x x x x x x x + − − = − − + = + − − = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 0 2 1 3 2
·,若齐次线性方程组有非零解，则必有无穷多解， 若能求出这个解向量组的一个极大无关组，则任 解向量均可用它们线性表示，因而可用它们的线性 组合来表示原齐次线性方程组的全部解 2.齐决线性方程组解的结构 定义：齐次线性方程组解向量组的一个极大无关 组称作齐次线性方程组的一个基础解系。 齐次线性方程组(2)当r()=时只有零解，不存在 基础解系 当r风A)=r<n时，有： 定理2对齐次线性方程组(2)，若r(=r<n,则基 础解系存在，且均含-r个解。 证（注意：该证明给出了求基础解系的方法！）
∴若齐次线性方程组有非零解,则必有无穷多解, 若能求出这个解向量组的一个极大无关组,则任一 解向量均可用它们线性表示,因而可用它们的线性 组合来表示原齐次线性方程组的全部解. 2. 齐次线性方程组解的结构 定义：齐次线性方程组解向量组的一个极大无关 组称作齐次线性方程组的一个基础解系。 定理2 对齐次线性方程组(2)，若r(A)＝r < n，则基 础解系存在，且均含n-r个解。 齐次线性方程组(2)当 不存在 基础解系 r(A)＝n时只有零解, 当r(A)＝r < n时，有： 证(注意：该证明给出了求基础解系的方法!)