NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定义1.设f(x)在x0的某邻域U(xo)内有定义.且 lim f(x)=f(xo 则称f(x)在x连续,x称为f(x)的连续点 否则称f(x)在x间断,x称为f(x)的间断点, 或称为不连续点 由于当(x)为多项式时,有limf(x)=f(x) x->x0 并且, lim sin x=sin lim cos x= cos x 所以,多项式及正,余弦函数在任何点x处连续 OD 高等數粤
定义1. 设f (x)在x0的某邻域U(x0 )内有定义. 且 lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = → 则称f (x)在x0连续, x0称为f (x)的连续点. 否则称f (x)在x0间断, x0称为f (x)的间断点, 或称为不连续点. 由于当f (x)为多项式时, 有 lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = → 0 , lim sin sin 0 x x x x = → 并且 0 lim cos cos 0 x x x x = → 所以, 多项式及正, 余弦函数在任何点x0处连续
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 连续定义也可用ε-δ语言给出。 若对∨E>0,38>0,使得当x-x<8时, 对应的函数值f(x)满足|f(x)-f(x)|<E 则称f(x)在x处连续 注:与极限定义比较,将"a"换成"∫(xo)" 将"0-x-x0-8换成"-x8 OD 高等數粤
连续定义也可用− 语言给出。 若对 >0, >0,使得当|x−x0 |<时, 对应的函数值f (x)满足| f (x) − f (x0 ) |< 则称f (x)在x0处连续. 注: 与极限定义比较, 将"a"换成" f (x0 )" 将"0<|x−x0 |< "换成" |x−x0 |<
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例1.证明f(x)=x ∫x,当x≥0)时 -x,当x<0时, 在x=0处连续 证:因 lim f(x)=limx=01imf(x)=lim(-x)=0 x->0 0 x→>0 故limf(x)=lim|x=0 x→>0 0 又因为f(0)=0.从而lmf(x)=f(0 故f(x)=x在x=0处连续 OD 高等數粤
例1. = − = = 0 . , 0 , , 0 , ( ) | | 在 处连续 当 时 当 时 证明 x x x x x f x x 证: lim ( ) lim 0 0 0 = = → + → + f x x x x 因 lim ( ) lim ( ) 0 0 0 = − = → − → − f x x x x lim ( ) lim | | 0 0 0 = = → → f x x x x 故 又因为f (0)=0. lim ( ) (0) 0 f x f x = → 从而 故 f (x) =| x |在x = 0处连续
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 如图 (x)=x 还可得到,x在任何点x处连续即limn|x|x 记U(x,O)=[x02x0+)U(x,)=(x0-6,x0] 称为x的右邻域和x的左邻域 简记为U(x)和U(x) OD 高等數粤
如图 x y o f (x) = |x| 还可得到, |x|在任何点x0处连续. lim | | | |. 0 0 x x x x = → 即 ( , ) [ , ), ( , ) ( , ], 0 0 0 0 0 0 U x = x x + U x = x − x 记 + − 称为x0的右邻域和x0的左邻域. ( ) ( ). 0 0 + − 简记为U x 和U x
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定义2.设f(x)在x的某右邻域U(x)(某左邻 域U(x)内有定义, Ai lim f(x)=f(ro lim f(x)=f(o)) x->x0 则称f(x)在x处右(左连续 定理1.f(x)在x处连续◇→f(x)在x左连续且右连续 OD 高等數粤
lim ( ) ( )( lim ( ) ( )), 0 0 0 0 f x f x f x f x x x x x = = → + → − 若 定义2. 则称f (x)在x0处右(左)连续. 设f (x)在x0的某右邻域 (某左邻 域 )内有定义, ( ) 0 + U x ( ) 0 − U x 定理1. f (x)在x0处连续 f (x)在x0左连续且右连续