6.54马性与拐点:」enen不等式 例.证明不等式 a+6 (ab)2≤a"b b 其中,a,b均为正数 推广 ∴+a a,a 其中,a1,a2,…,an均为正数
6.5.4 凸性与拐点:Jensen :Jensen :Jensen :Jensen不等式 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 : ( ) , . ( ) .. , , , , , n n a b a b a a a a a a n n n n a b a b a a a a a a a a a a b + + + + ≤ ≤ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 证 明 不 等 式 均 为 正 数 均 为 正 数 其 中 其 中 例 . 推 广 :
654凸性与拐点:拐点(1) 定义设曲线y=f(x)在点(x,f(x)处有 穿过曲线的切线且在切点近旁,曲线在切 线的两侧分别是严格凸和严格凹的这时 称点(x0,f(x)为为曲线y=f(x)的拐点 例 1.求y=x3的拐点 2求y=sinx的拐点
6.5.4 凸性与拐点: 拐点(1） 0 0 0 0 3 ( ) ( , ( )) . , , ( , ( )) ( ) . : 1. . 2. sin . y = f x x f x x f x y = f x y = x y = x 设曲线 在点 处有 穿过曲线的切线 且在切点近旁 曲线在切 线的两侧分别是严格凸和严格凹的 这时 称点 为为曲线 的拐点 例 求 的拐点 求 的拐点 定义
654凸性与拐点:拐点(2) 定理若y"(x)存在,则(x,(x)为 曲线y=f(x)的拐点的必要条件为 "(x)=0 定理若f(x)存在,在U(x)内二阶可 导若在U(x)和C(x)上"(x)的符号 相反,则(x0,f(x)为y=f(x)的拐点
6.5.4 凸性与拐点:拐点(2） 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) , ( , ( )) ( ) ( ) 0. ( ) , ( ) . ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( ) . f x x f x y = f x f x f x U x U x U x f x x f x y = f x + − ′′ ′′ = ′ ′′ � � � 若 存在 则 为 曲线 的拐点的必要条件为 若 存在 在 内二阶可 导 若在 和 上 的符号 相反，则 为 的拐点 定理 定理
65.4凸性与拐点:示倒(1) 例1.若f为定义在(a,b)内的可导凸 函数,则x∈(a,b)为∫的极小值的 充要条件是f"(x0)=0 a+6+ 例2.证明(abc)3≤a"b°,a,b,c∈R+ 例3.若f为定义在/内的凸函数,则 在/内任一点都存在左,右导数
6.5.4 凸性与拐点:示例（1） 0 0 3 ( , ) ( , ) ( ) 0. ( ) , , , . , . a b c a b c f a b x a b f f x abc a b c a b c R f I f I + + + ∈ ′ = ≤ ∈ 若 为 定 义 在 内 的 可 导 凸 函 数 ， 则 为 的 极 小 值 的 充 要 条 件 是 证 明 若 为 定 义 在 内 的 凸 函 数 ， 则 在 内 任 一 点 都 存 在 左 右 导 数 例 1. 例 2. 例 3
6.6本章题选讲(1) 1.lim e-In(+r) x→)0 2.设h>0,函数f在U(a,h内具有n+2阶 连续导数,且(+2)(a)≠0,/在U(a;,h内 的泰勒公式为f(a+h)=f(a)+(a)h+ (a)(m)(a+0h)m n+ 求证:lim= h→0 n+
6.6 本章题选讲（1） 2 0 ( 2 ) ( ) ( 1) 1 0 ln(1 ) lim . 0 ( ; ) 2 ( ) 0 ( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ( 1)! 1 lim 2 x x n n n n n h xe x x h f U a h n f a f U a h f a h f a f a h f a f a h h h n n n θ θ → + + + → − + > + ≠ + = + + ′ + + + + = + ⋯ 设 ， 函 数 在 内 具 有 阶 连 续 导 数 ， 且 ， 在 内 的 泰 勒 公 式 为 ， 求 证 : . 1. 2