6.6本章习题选讲(2) 3.设/为(-∞,+∞)上的二阶可导函数 若在(-∞,+∞)上有界,则存在 ∈(-∞,+∞),使/"(5)=0 4.若f在(-∞,+∞)上有界且凸,则∫ 为常值函数
6.6 本章习题选讲（ 本章习题选讲（ 本章习题选讲（ 本章习题选讲（2） ( , ) . ( , ) , ( , ), ( ) 0 ( , ) f f f f f ξ ξ −∞ +∞ −∞ +∞ ∈ −∞ +∞ = ′′ −∞ +∞ 设 为 上 的 二 阶 可 导 函 数 若 在 上 有 界 则 存 在 使 . 若 在 上 有 界 且 凸 ， 则 为 常 值 函 数 . 3 . 4
7.0实数完备性:引言 °什么是完备性? 六个基本定理: 确界原理、单调有界定理、柯西准 则、区间套定理、聚点定理、有限 覆盖定理 应用
7.0 实数完备性:引言 • 什么是完备性？ • 六个基本定理： 确界原理、单调有界定理、柯西准 则、区间套定理、聚点定理、有限 覆盖定理 � 应用
711实数完备性:区间套定狸(1) 定理设闭区间{anb列具有下列性质: (1)[an,b]→[an1,b1,n=1,2, (2)lm(b-an)=0, 力→∞ 则存在唯一的一点ξ∈R,使ξ∈[a,b,],n=1,2, 推论若ξ是区间套定理所确定的点,则对任给 的E>0,存在M>0,使得当n>M时有 an,b]∈U(5;E)
7.1.1 实数完备性:区间套定理(1） { } 1 1 [ , ] [ , ] [ , ], 1, 2, ; lim( ) 0, [ , ], 1, 2, . 0 0 [ , ] ( ; ). n n n n n n n n n n n n n a b a b a b n b a R a b n N n N a b U ξ ξ ξ ε ξ ε + + → ∞ ⊃ = − = ∈ ∈ = > > > ⊂ ⋯ ⋯ 设闭区间 列具有下列性质： (1) (2) 则存在唯一的一点 ，使 若 是区间套定理所确定的点，则对任给 的 ，存在 ，使得当 时有 定理 推论
711实数完备性:区间套定理(2) 注: 1.区间的二分法 2对于开区间套,定理不成立 (0,),∩(O,)= 刀=1 应用: 1.柯西收敛准则的充分性的证明
7.1.1 实数完备性:区间套定理(2） 1 1 1 . . {(0, )}, (0, ) . n n n ∞ = ∩ = ∅ 区间的二分法 对于开区间套，定理不成立 柯西收敛准则的充分性的证明 注： 1. 2. 应用： 1
712实数完备性:聚点定理(1) 聚点:设S为数轴上的点集,为定点 1若ξ的任何邻域内都含有S中无穷多个点 则称ξ为点集S的一个聚点 2若ξ的任何E邻域内都含有S中异于ξ的 点,即(2;E)∩S≠⑧,则称ξ为点集S的 个聚点 3若存在各项互异的收敛数列{x}∈S,则其极限 limx=5称为S的一个聚点 1→0
7.1.2 实数完备性:聚点定理(1） , . , . , ( ; ) , . { } lim . n n n S S S S U S S x S x S ξ ξ ξ ξ ε ξ ξ ε ξ ξ →∞ ≠ ∅ ⊂ = � ∩ 若存在各项互异的收敛数列 则其极 限 称为 的一个聚点 设 为数轴上的点集， 为定点 若 的任何邻域内都含有 中无穷多个点 则称 为点集 的一个聚点 若 的任何 邻域内都含有 中异于 的 点 即 则称 为点 集 的 一个聚点 聚点： 2. 3. 1