651凸性与拐点:凸的定义(2) f(×2) f(×) f(×1) 注 1.x-x1=(1-λ)(x2-x1)x2-x=(x2-x1) 成立时,称为严格凸 3.当∫凸时,/为凹
6.5.1 凸性与拐点:凸的定义(2） 1 2 1 2 2 1 (1 )( ); ( ); 2. . 3. . x x x x x x x x < f f 1. − = − − − = − λ λ 当“ ”成立时，称为严格凸 当 凸时，- 为凹 注 x1 x x2 f(x1) f(x2) f(x)
6.5.1凸性与拐点:凸的判定(1) 定理/为/上的凸函数的充分必要条件 是:对/上的任意三点x<x<x,总有 (x2)-x)<(x3)-1(x2) 或 f(x2)-f(x)(x3)-(x)(x3)-(x2)
6.5.1 凸性与拐点:凸的判定（1） 2 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2 1 2 3 2 1 3 2 2 1 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) . . f x f x f x f x f x f x x x x x x x f I I x x x f x f x f x f x x x x x − − − ≤ ≤ − − − < < − − ≤ − − 为 上的凸函数的充分必要条件 是：对 上的任意三点 总有 或 定理
652马性与拐点马的判定(2) 定理为1上的可导函数,则下述等价: 1.厂为/上的凸函数; 2.f为/上的增函数; 3.对/上的任意两点x1,x,有 f(x2)≥f(x)+(x)x2-x1 (凸的几何特征) 问:第三条的结论与x1,x2的大小有关吗?
6.5.2 凸性与拐点:凸的判定（2） 1 2 2 1 1 2 1 1 2 , , ( ) ( ) ( )( ). , f I f I f I I x x f x f x f x x x x x ′ ≥ + − ′ 为 上的可导函数，则下述等价： 1. 为 上的凸函数； 2. 为 上的增函数； 3. 对 上的任意两点 有 （凸的几何特征） 问：第三条的结论与 的大小有关吗？ 定理
653马性与拐点:马的判定(3) 定理/为/上的二阶可导函数,则/为 /上的凸函数的充要条件为 "(x)≥0,x∈ 例1.讨论函数∫= arctan x的凸性 例2.若函数/为定义在开区间(a,b)内的 可导的凸函数,则x∈(a2b)为/的极值点 的充要条件为/(x)=0
6.5.3 凸性与拐点:凸的判定（3） 0 0 arctan . ( , ) , ( , ) ( ) 0. ( ) 0 f x f a b x a b f f x f I f I f x x I = ∈ ′ = ′′ ≥ ∈ 讨论函数 的凸性 若函数 为定义在开区间 内的 可导的凸函数 则 为 的极值点 的充要条件为 为 上的二阶可导函数，则 为 上 的凸函数的充要条件为 ， 定理 例1. 例2
6.54马性与拐点 Jensen不等式 定理/为[,b上的凸函数,则对任意 x∈[ab1,>0(=1,2…,m),∑λ=1,有 =1 ∑x)≤∑/ 特别 +…+x、1 )≤-((x)+…+f(x)
6.5.4 凸性与拐点:Jensen :Jensen :Jensen :Jensen不等式 1 1 1 1 1 [ , ] [ , ], 0 ( 1, 2, , ), 1, ( ) ( ). 1 ( ) ( ( ) ( )). n i i i i n n i i i i i i n n f a b x a b i n f x f x x x f f x f x n n λ λ λ λ = = = ∈ > = = ≤ + + ≤ + + ∑ ∑ ∑ ⋯ ⋯ ⋯ 为 上的凸函数,则对任意 有 特别 定理