6.43极值与最值:极值第三充分条件 定理设/在点x的某邻域U(x;)内 存在直到n-1阶的导数,且/(x)=0, (k=0,1,2,…n1),/o(x)≠0,则 〃偶」(x)极大值,当/(x)<0 f(x)极小值,当/m(x)>0 n奇→f(x)非极值
6.4.3 极值与最值:极值第三充分条件 极值第三充分条件 极值第三充分条件 极值第三充分条件 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) k n n n f x x n f x k n f x f x f x n f x f x n f x δ = ≠ < ⇒ > ⇒ ⎧ ⎨ ⎩ ⋯ 设 在点 的某邻域 U ； 内 存在直到 -1阶的导数，且 ， ( =0,1,2, -1), ，则 极大值, 当 偶 极小值, 当 奇 非极值. 定理
64.4极值与最值:示倒 例1求f(x)=2cosx+e2+e的极值 例2求f(x)=x(x-1)的极值 例3求f(x)=x(x2-1)的极值
6.4.4 极值与最值:示例 4 3 2 ( ) 2cos e e ( ) ( 1) ( ) ( 1) x x f x x f x x x f x x x − = + + = − = − 求 的极值. 求 的极值. 求 的极值. 例1. 例2. 例3
64.5极值与最值:最值求法 定理设∫在[a上连续,x五;x为的所 有稳定点,y1马2;为的所有不可导点, max max{(a),f(b),/(x)…1(xn),f()…f(v)}; min min{f(a),f(b)f(x)…(xm),/()2…f(n
6.4.5 极值与最值:最值求法 1 2 1 2 max 1 1 min 1 1 [ , ] y max{ ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )}; min{ ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )}. m n m n m n f a b x x x f y y f f f a f b f x f x f y f y f f a f b f x f x f y f y = = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 设 在 上连续， , , 为 的所 有稳定点， , , 为 的所有不可导点，则 定理
6.5.0马性与拐点:引言 什么是马函数? 如何判定凸函数? 什么是詹森不等式? 什么是拐点?
6.5.0 凸性与拐点:引言 • 什么是凸函数？ • 如何判定凸函数？ • 什么是詹森不等式？ • 什么是拐点？
651凸性与拐点:凸的定义(1) 定义设∫在区间/上有定义,若对任意 x,x2∈I,任意λ∈(0,1),总有 f(xx1+(1-)x2)≤x/(x)+(1-九)f(x2), 则称/为/上的凸函数 若总有 f(xx1+(1-)x2)≥xf(x1)+(1-x)/(x2) 则称/为/上的凹函数
6.5.1 凸性与拐点:凸的定义(1） 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) . ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) . f I x x f x x f x f x f I f x x f x f x f I λ λ λ λ λ λ λ λ λ ∈ ∈ + − ≤ + − + − ≥ + − 设 在区间 上有定义，若对任意 ， I,任意 (0,1),总有 ， 则称 为 上的凸函数 若总有 ， 则称 为 上的凹函数 定义