2.解析函导敝的几何意义(鵝角和) 设=f(z)在区域D内解析z∈D,且八'(z0)≠0, 在D内过n引一条有向光滑曲线 C:z=x(1)t∈[a,B 取∈(a,B)z=z(t)z(tn)≠0则 ∫(z z平面上C:z=z(t)→w平面上r:w=fz( r一过点w=f(z)正向取增大方向的曲线
2. 解析函数导数的几何意义(辐角和模) ( ) , , '( ) 0, 设w = f z 在区域D内解析 z0 D 且f z0 : ( ) [ , ] : 0 C z = z t t D z 在 内 过 引一条有向光滑曲线 ( ) . —过 点w0 = f z0 ，正向取t增大方向的曲线 ( , ) ( ) 0 0 0 取t z = z t z'(t 0 ) 0 则 : ( ) : [ ( )] ( ) z C z z t w w f z t w f z = → = = 平面上 平面上 ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~
∴v'(t0)=f"(z0)z"(t0)≠0 Argn (to)=Argf(zo)+ Argz(to) 记Φ Ap Argf(zo)= Argw(to)-Argz'(to) 即a=①-q(1 C:z=(t) r:w=( T W=f(z) 09
w'( t 0 ) = f '( z 0 ) z'( t 0 ) 0 '( ) '( ) '( ) 0 0 0 Argw t = Argf z + Argz t 记 '( ) '( ) '( ) 0 0 0 即 Argf z = Argw t − Argz t 即 = − (1) C : z = z ( t ) o (z) x y ov ( w ) u : w = f[z(t)] w= f (z) → T ' T 0 z w0
若视x轴与轴和轴与轴的正向相同 称曲线C的切线正向与映射后戲正向之 间的夹角为原曲线C经映射=f(z)在点 z的转动角记作a a=-φ即4rgf"(x)=Argw'(tn)-Argz(t0)
, . ( ( )) , 0 的转动角记 作 间的夹角为原曲线 经映射 在 点 称曲线 的切线正向与映射后曲线 正向之 若 视 轴 与 轴 和 轴 与 轴的正向相同 z C w f z C x u y v = ~~~~~~~ '( ) '( ) '( ) 0 0 0 = − 即Argf z = Argw t − Argz t T ' u x T 0 z w0
(1)导数幅rg/(的几何意义 ①4egf"(zn)f"(xa)≠0)是曲线C经过w=∫(z) 映射后在点转动角 由(1)式a仅与映射=∫(z)及点z有关则 ②转动角a的大小及方向与曲线的形状 与方向无关这种性质称为映射具转 动角的不变性
由(1)式仅与映射w = f (z)及 点z0 有 关,则 (1)导数幅角Argf'(z)的几何意义 . '( )( '( ) 0) ( ) 0 0 0 映射后在点 的转动角 ① 是曲线 经 过 z Argf z f z C w = f z ~~~~~~~~~ . , 动角的不变性 与方向无关这种性质称为映射具有转 ② 转动角的大小及方向与曲线C的形状 ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~
设C(i=1,2)在点z0的夹角为O,C1(E=1,2) 在变换=f(z)下映射为相交于点v=f(zn) 的曲线:(=1,2),r1,r2的夹角为⊙ Vt(z) v()、\回=Φ2-① 6 g2-q1 f∫(z) 由式(1)有,a=Φ;-q;(i=1,2) → :=0—保角性
2 ( 1,2), , . ( ) ( ) ( 1,2) , ( 1,2) 1 2 0 0 0 = = = = = 的曲线 的夹角为 在变换 下映射为相交于点 设 在 点 的夹角为 i w f z w f z C i z C i i i i o x y (z) C1 C2 1 0 z w= f (z) → = 2 −1 2 1 1 2 o v u (w) w0 2 1 2 1 (1) ( 1,2) − = − 由 式 有 ， = i − i i = = ——保角性 =2 −1