第十一章 习题课
第十一章 • 习题课
幂级数 (1)定义 形如∑an(x-x0)的级数称为幂级数 n=0 oo 当x=0时,∑ H=0 其中an为幂级数系数 上页
(1) 定义 形如 n n an (x x ) 0 0 = − 的级数称为幂级数. 0 , 当x0 = 时 其中an为幂级数系数. 1、 n n n a x =0 幂级数
(2)收敛性 定理1(Abe定理 如果级数∑anx在x=x0(x0≠0)处收,则 n=0 王它在满足不等式x<k的一切处绝对收敛 如果级数∑anx”在x=x处发散,则它在满足 n=0 不等式x>x的一切处发散 上页
如果级数 n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x x0 的一切x 处发散. 定理 1 (Abel 定理) 如果级数 n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0 处收敛,则 它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛; (2) 收敛性
推论 如果幂级数∑ax“不是仅在x=0一点收敛也 n=0 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质 当x<R时,幂级数绝对收敛; 工工工 当x>R时,幂级数发散; 当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散 上页
如果幂级数 n=0 n an x 不是仅在x = 0一点收敛,也 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 推论
定义:正数R称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 o 定理2如果幂级数∑anx"的所有系数an≠0, 黑设im=p(或 lima/an=p) n→Q n→0 n (1)则当p≠0时,R=;(2)当p=0时,R=+0; (3)当p=+时,R=0 上页
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 定理 2 如果幂级数 n=0 n an x 的所有系数an 0, 设 = + → n n n a a 1 lim (或 = → n n n lim a ) (1) 则当 0时, = 1 R ; (3) 当 = +时,R = 0. (2) 当 = 0时,R = + ;