黑龙江八一农垦大学：《高等数学习题课》第二章 导数与微分

第二章导数与微分 习题课 巴主要内容 四典型例题

庄一、主要内容 关d 系d y分=y分Ay=+0(△x) 基本公式 导数 微分 △y 高阶号数 lim 小y=y△x △x→>0△v 高阶微分 求导法则 王页下

求 导 法 则 基本公式 导 数 x y x    →0 lim 微 分 dy = yx 关 系 y dy y dx y dy o( x) dx dy =   =    = +  高阶导数 高阶微分 一、主要内容

上1、导数的定义 c定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义 牛当自变量在x处取得增量△(点x+△仍在该邻域 内时相应地函数取得增量少=f(x+A-(x) 如果4y与△x之比当Ax→0时的极限存在,则称函数 y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x) 在点x处的导数记为y=。,,或( x=x 即 dx y=>△=mf(x+△x)-f(x) △x→0△x△x-0 △x 上页

1、导数的定义 在点 处的导数 记为 或 即 在点 处可导 并称这个极限为函数 如果 与 之比当 时的极限存在 则称函数 内 时 相应地函数 取得增量 当自变量 在 处取得增量 点 仍在该邻域 设函数 在点 的某个邻域内有定义 , ( ) , , ( ) , ( ) 0 , ) , ( ) ( ); ( ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x dx df x dx dy x y y f x x y f x y x x y y f x x f x x x x x x y f x x = = =  = =    →  = +  −  +  定义 = . ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 x f x x f x x y y x x x x  +  − =    =  →  → =

单侧导数 1左导数: ∫"(x0)=Iim f(x)-f( li f(xo+△x)-f(x0) m x→. X- △r △x 2右导数: 工工工 ∫(x0)=li f(x)-f( o x→xa+0 2=himf(x+△)-f(x) △ 中函数f(x)在点x处可导→左导数/(x)和右 导数f(x0)都存在且相等 上页

2.右导数: 单侧导数 1.左导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x  +  − = − −  = → −  →− − ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x  +  − = − −  = → +  →+ + 函数 f (x)在点x0 处可导左导数 ( ) x0 f −  和右 导数 ( ) x0 f +  都存在且相等

2、基本导数公式(常数和基本初等函数的导数公式) C)=0 ↓ (sin x)=cosx (cos x)=-sin x (tan x)=secx (cot x)'=-csc2x eT (secx)'=secxtgx (csc x)=-csc xctgx (a)=a Ina 工工工 (oga x= n na 1 (arcsin x) (arccos x) (arctan x) 1+x2 (arccot x)= 十 上页

2、基本导数公式 2 2 2 1 1 (arctan ) 1 1 (arcsin ) ln 1 (log ) ( ) ln (sec ) sec (tan ) sec (sin ) cos ( ) 0 x x x x x a x a a a x xtgx x x x x C a x x +  = −  =  =  =  =  =  =  = （常数和基本初等函数的导数公式） 2 2 2 1 1 1 ( cot ) 1 1 (arccos ) 1 (ln ) ( ) (csc ) csc (cot ) csc (cos ) sin ( ) x x x x x x e e x xctgx x x x x x x x x +  = − −  = −  =  =  = −  = −  = −  =   − arc