第二节 函数的幂级数展开 上页
第二节 函数的幂级数展开
庄一、泰勒级数 压上节例题∑(12xX=1m+)(1x≤D 王/2∑(=x)y在级数在其收敛 问题:1.如果能展开,mn是什么? 2展开式是否唯一? 3在什么条件下才能展开成幂级数? 王页下
一、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1 − = + − = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 = − = 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
上定理1如果函数f(x)在U(x)内具有任意阶导 数,且在U(x)内能展开成(x-x)的幂级数 生即f(x)=∑4(x-x 生则其系数,=厘/"(x) (n=0,1,2,) 且展开式是唯一的 王证明∵∑(x-x)”在(x收敛于(x)即 0 牛f(x)=a+a(x-x)+…+a(x-xn)+… 上页
证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n n − = f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 定 理 1 如果函数 f (x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 = − = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 且展开式是唯一的
逐项求导任意次得 f(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan(x-x0)”+… f(x)=nan+(n+1)n…3·2an1(x-x0)+ 令x=x,即得 工工工 S 尔((x0) (n=0,1,2,…)泰勒系数 牛泰勒系数是唯一的,∫(x)展开式是唯一的 上页
f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 泰勒系数是唯一的, f (x)的展开式是唯一的. f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得 泰勒系数
定义如果f(x)在点x处任意阶可导则幂级数 ∑A(x-x)称为/(在点x的整勒级数 n=0 生∑ f)(0) x"称为f(x)在点x=0的麦克劳林级数 n=0 王间题(y2 ()(x0(x-xn) n-=0 泰勒级数在收敛区间是否收敛于八x)?不一定 上页
如果 f (x)在点x0处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) − = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f =0 ( ) ! (0) 称为 f ( x)在点x0 = 0的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( ) − = = = 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定