华东师范大学：《常微分方程》课程教学资源（习题集）常微分方程习题集

常微分方程习题集 华东师范大学数学系 2003年9月

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常微分方程习题集目录 第一章基本概念和初等解法 1.1微分方程模型与基本概念 1 1.2初等解法 3 1.3基本理论问题 14 第二章线性微分方程组 2.1引论 19 2.2一般理论 22 2.3常系数线性微分方程组 27 2.4高阶线性微分方程 37 第三章定性和稳定性理论 3.1基本概念 44 3.2二阶系统的定性分析 47 3.3一般非线性系统零解的稳定性 50 1

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习题 1指出下列常微分方程的阶数,并判断是否为线性 答:一阶线性方程 +2yx+3ry=0: 答:二阶非线性方程. 3)dx2+p()dx+q(a)y=f(a) 答:二阶线性方程 4)+cosy+a =0 答:一阶非线性方程 2.什么是常微分方程的解?它与代数方程的解有什么区别?何 谓微分方程的通解、特解?何谓初值问题? 答:在某区间Ⅰ上定义并且在区间Ⅰ上恒满足某常微分方程的 函数叫做该常微分方程在区间Ⅰ上的一个解.代数方程的解是满 足代数方程的函数或数.常微分方程的解与代数方程的解的主要 区别是:常微分方程的解是在区间上定义的可微函数,它可以含有 任意常数.而代数方程中不含对未知函数的求导运算.一个n阶常 微分方程的含有n个独立的任意常数的解叫通解,通解不一定包 含方程所有的解.不含有任意常数的解叫特解.求一个n阶常微分 方程的解,要使这个解及它的直到n-1阶导数在某一点取给定的 些值.这样的问题叫初值问题 3.验证函数y=2+c√1-x2(其中c为任意常数)是微分方程 (1-x2)出+my=2x的通解,并求出满足初始条件y(0)=3的解 解:从函数方程解出c,得(y-2)/(1-x2)=c2,两边关于x求 导,得2(1-x2)(y-2)dy/dx+(y-2)2x]/(1-x2)2=0,经整理得微分 方程(1-x2)dy/dx+xy=2x 般的方法是将函数中的任意 常数c解出,对x求导后的微分方程就不含c了)再由初始条件 3=y(0)=2+c得c=1,满足初始条件的解是y=2+√1-x2 4.验证e-ex=c(这里c为任意常数是否为方程=cx-y 的通解 解:是.以exp()表示指数函数设由方程exp(y)-exp(x)=c 决定了一个函数y(x),即exp(y(x)-exp(x)≡c,两边对x求导得, exp(y(x)dly/dx-exp(x)=0,整理后就得dy/dx=exp(x-y),即含有 个任意常数c的隐函数exp(y)-exp(x)=c满足一阶微分方程,按 定义exp(y)-exp(x)=c是通解 5.已知平面曲线上任一点的切线在两坐标轴之间的部分都等 于定长l,试求出此平面曲线应满足的微分方程 解:设(X,Y)为切线上的点,过切点(x,y)的切线方程为 Y-y=y(X-x),它与x与y轴的交点分别为(x-y/y,0)与

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, ,-./01: 1) dy dx = 4x 2 − y: 2: . 2) d 2y dx 2 + 2y dy dx + 3xy = 0: 2: #. 3) d 2y dx 2 + p (x) dy dx + q (x) y = f (x) 2: . 4) dy dx + cos y + x = 0. 2: #. 2. 34/￾
5 67 8349:5 ; <￾
= > ? 5 ;<@5 2: AB9C I D!E,FA9C I DGHIB￾
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T8 n Nab UV K= , = Y!c Td8 . YT8UV K? . ]N n ￾
, QefN g6 hi n − 1 ^ABjkl! m@. fn K@. 3. opJ y = 2 + c √ 1 − x 2 ¡ (qX c 1UV)/￾
1 − x 2 ¢ dy dx + xy = 2x = , ,])HIrst y (0) = 3 . : uJ ) c, v (y − 2 2 )/(1 − x 2 ) = c 2 , wxyz x ] ^,v 2[(1 − x 2 )(y − 2)dy/dx + (y − 2)2x]/(1 − x 2 ) 2 = 0, {|v￾
(1 − x 2 )dy/dx + xy = 2x. (}:  /~JX UV  c ), Z x ]^ ￾
￾YT c
rst: 3 = y (0) = 2 + c v c = 1, HIrst / y = 2 + √ 1 − x 2. 4. op e y − e x = c (fc1UV)/01 dy dx = ex − y = . : /. S exp(·) 34(J.  exp(y) − exp(x) = c !
NJ y(x),  exp(y(x)) − exp(x) ≡ c, wxZ x ]^v, exp(y(x))dy/dx − exp(x) = 0, |￾v dy/dx = exp(x − y), T8 NUV c J exp(y) − exp(x) = c HI￾
, !E exp(y) − exp(x) = c /= . 5. \rDUj 2AwRC
$ z!w l, ])_r5HI ￾
. :  (X, Y ) 12D jk q2j (x, y) 21 Y − y = y 0 (X − x), 6 x  y  \j
:1 (x − y/y0 , 0)  1

(0,y-xy),所以所求的方程为(x-y/)2+(y-xy)2=12 价角均为知数面出线某任北宁面线与连定和与的连线之间的 解:由题意,tan( arctan y- arctan(y/x)=tana≡k,故由三角公式 得所求方程为(y-y/x)=k(1+yy/r) 7.求出曲线族(x-c1)2+(y-c2)2=所满足的微分方程,其中 c1,c2,e3为任意常数 解:方程两边对x求导一次得2(x-c1)+2(y-c2)y=0,再对x 求导一次得2+2y2+2y-c2)y,解出c2:c=y+(1+y2)/y",对其 关于x求导一次得所求的微分方程y+[(1+2)/y=0 8.一个容器盛盐的水溶液100升,净含盐10千克.现以每分钟3升 的流量注入净水使盐水冲淡,同时以每分钟2升的流量让盐水流出 设容器中盐水的浓度在任何时刻都是均匀的,求出任意时刻t容 器中净盐量所满足的微分方程和定解条件. 解:设在t分钟时净盐量为r(t)千克,定解条件为初始条件: x(0)=10(千克),在时刻t(分)时,水溶液体积为(100+t)(升),盐浓 度为m+1(千克/升)按题意净盐量变化率出=1m0+,这就 是所求的微分方程 9*.假设二统在水中运动时主要的到两个力的作用,即由于运 动定析非所产生的零引力T和水的稳力D.记二统的速度为u.如 果运动定和二统一起的总质量为m,运动定为二统提供的不变有 效功率为p,稳力D与n2成正比,试建立二统速度的运动方程.提 小:1u=p 解:设D=kn2,k是比例系数,由牛顿第二定律得运动方程 mdu/dt=p/u-ku

(0, y − xy0 ), dSd] 1 (x − y/y0 ) 2 + (y − xy0 ) 2 = l 2 . 6. \rDUj 2Mj';j ￾RC %1 α, ])_r5HI . : V, tan(arctan y 0 − arctan(y/x)) = tan α ≡ k, V ./ vd]1 (y 0 − y/x) = k(1 + yy0/x). 7. ])r (x − c1) 2 + (y − c2) 2 = c 2 3 dHI ￾
, qX c1, c2, c3 1UV. : wxZ x ]^1v 2(x − c1) + 2(y − c2)y 0 = 0, Z x ]^1v 2 + 2y 02 + 2(y − c2)y 00 , ) c2: c2 = y + (1 + y 02 )/y00 , Zq yz x ]^1vd] ￾
y 0 + [(1 + y 02 )/y00] 0 = 0. 8. N  100, T10. S
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2  ). X !"AU;#$/%& , ])UV# t  XdHI ￾
'! st. : A t
1 x (t) , ! st1rst: x (0) = 10(), A# t (
), ()1 (100 + t) (), ! "1 x 100 + t (/), V, *+, dx dt = −2x 100 + t k f￾ /d] ￾
. 9*. wAX_aPQ iwNk B9k z_ a!"#d(' $k T ' %k D. ^ h"1 u. p v_a!'& '{1 m, _a!1( Y*8 )*,1 p, %k D  u 2 H6k
bh" _a. ( 4: T u = p. :  D = ku2 , k /zk +,!-v_ak mdu/dt = p/u − ku2 . 2

常数变易公式:一阶线性非齐次方程dx/dt+p(t)x=q()的 切解可以表示为x()=bM()(c+2(s)/()d)其中M()是对应的 线性齐次方程dr/dt+p(t)x=0的任一个确定的非零特解,可取 h(t)=exp(-p(t)dt)中一个特定的函数.其中exp(s)=e°表示指数 函数.c为任意常数.注意公式中的两个函数h(t)必须取同一个函 数 1.用分离变量法求解下列方程或初值问题: 0 解:y=cexp(∫-e2adx)=cexp(-e2/2) 2)sec2 a tan y d z + sec2 y tan r dy=0 解:原方程可化为 tan yd tanT+ tan a d tan y=0,从而 d( tan r tan y)=0,积分得通解 tan a tan y=c )+1 解:将原方程化为(x+1)eydy+(ey-2)dx=0,进而化为 +1)d(ey-2)+(ey-2)d(x+1)=0,即d【(x+1)(ey-2)=0,积分得 通解(x+1)(e-2)=c 解:将原方程化为6e3dx+6ye-y2dy=0,积分得通解 解:将方程化为eydy-erdx=0,积分得通解e-e=c. 6)x2(1-y)dy+y2(1+x)dx=0 解:当xy≠0时,将方程化为(1/x2+1/ax)dx+(1/y2-1/y)dy=0 积分得通解1/x+1/y+ln/(cr)=0.还有两个特解,x=0及y=0, 它们不包括在通解中 7)3e tan y dz 0,y(1)=丌/4 解:将原方程化为-3 tany d(er-1)+(e-1) d tan y=0,方程两边乘 以(a-1)-,得d[-1)-3tany=0,积分得通解(e-13tany= 即tany=c(e2-1)3,初值问题的解为y= arctan[lea-1)3/(e-1 8)x√1+y2+w1+x2出=0,y(0)=1 答:通解为√1+x2+√1+y2=c 初值问题的解为y=V( 9)(1+x)ydx+x(1-y)dy=0,y(2)=0 答:初值问题的解为y=0(不能从通解ln(xy)/c)=y-x中得 y(1)=0 解:将方程化为d(1+y2)/d(x2)=(1+y2)/{x2(1+x2),分离变量得 1+y2)/(1+y2)=1/x2-1/(1+x2)d(x2),积分得通解为

& ' 1.2 *-./: #01 dx/dt + p(t)x = q(t)  2 RS341 x(t) = h(t) ³ c + R t t0 q(s)/h(s) ds ´ qX h(t) /Z5 01 dx/dt + p(t)x = 0 UN6! #$? , Rk h(t) = exp(R −p(t) dt) XN?! J. qX exp(s) = es 34( J. c 1UV. }V./X wNJ h(t) 78kNJ . 1. 9
:*] *+O@: 1) dy dx + ye 2x = 0 : y = c exp(R −e 2x dx) = c exp(−e 2x/2) 2) sec2 x tan y dx + sec2 y tan x dy = 0 : ;R+1 tan y d tan x + tan x d tan y = 0, uW d (tan x tan y) = 0, )
v= tan x tan y = c. 3) (x + 1) dy dx + 1 = 2e−y : ~;+1 (x + 1)ey dy + (ey − 2) dx = 0, <W+1 (x + 1)d(ey − 2) + (ey − 2)d(x + 1) = 0,  d[(x + 1)(ey − 2)] = 0, )
v = (x + 1) (ey − 2) = c. 4) dy dx + 1 y e y 2 + 3x = 0 : ~;+1 6e3x dx + 6ye −y 2 dy = 0, )
v= 2e3x − 3e−y 2 = c. 5) dy dx = ex − y : ~+1 e y dy − e x dx = 0, )
v= e y − e x = c. 6) x 2 (1 − y) dy + y 2 (1 + x) dx = 0 : = xy 6= 0 , ~+1 (1/x2 + 1/x) dx + (1/y2 − 1/y) dy = 0. )
v= 1/x + 1/y + ln[y/(cx)] = 0. >8wN? , x = 0 g y = 0, 6?Yc@A= X. 7) 3ex tan y dx + (1 − e x ) sec2 y dy = 0, y(1) = π/4 : ~;+1 −3 tan y d(ex−1)+(ex−1) d tan y = 0, wxA S (ex−1)−4 , v d h (ex − 1)−3 tan y i = 0, )
v= (ex − 1)−3 tan y = c,  tan y = c (ex − 1)3 , @ 1 y = arctan[[ex − 1)3 / (e − 1)3 ]. 8) x p 1 + y 2 + y √ 1 + x 2 dy dx = 0, y (0) = 1 2: = 1 √ 1 + x 2 + p 1 + y 2 = c. @ 1 y = r³√ 1 + x 2 − 1 − √ 2 ´2 − 1. 9) (1 + x) y dx + x (1 − y) dy = 0, y (2) = 0 2: @ 1 y = 0 (YBu= ln((xy)/c) = y − x Xv i). 10) xy ³ 1 + x 2 ´ dy dx = 1 + y 2 , y (1) = 0. : ~+1 d(1 + y 2 )/d(x 2 ) = (1 + y 2 )/[x 2 (1 + x 2 )],
:*v d(1 + y 2 )/(1 + y 2 ) = [1/x2 − 1/(1 + x 2 )]d(x 2 ), )
v= 1 3