例1利用微分性质求函数)=cosk的拉氏变 换 由于f(0)=1,f(0)=0,f"(O=k2 cos kt,则 [-k2 coS kt=x[f"()]=s2[f()]_s(0)-f'(0) k2Tcos kt]=s2 cos kt]-s 移项化简得 gIcos kt]=2 (Re(s)>0) S-+
6 例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的拉氏变 换. 由于f(0)=1, f '(0)=0, f ''(t)=-k 2cos kt, 则 L [-k 2cos kt]=L [f ''(t)]=s 2L [f(t)]-sf(0)-f '(0). 即 -k 2L [cos kt]=s 2L [cos kt]-s 移项化简得 [cos ] (Re( ) 0) 2 2 + = s s k s L k t
例2利用微分性质,求函数()=四的拉氏变换, 其中m是正整数 由于f(0)=f(0)=.f(m-)(O)=0,而fm)(=m 所以/[m!]=[m)()=sm(t)]_m-10) Sm2f"(0)-.-fm1)(0 即 /m!!=smtm 而[m!]=m![ S 所以 att m+1 (Re(s)>0)
7 例2 利用微分性质, 求函数f(t)=t m的拉氏变换, 其中m是正整数. 由于f(0)=f '(0)=...=f (m-1)(0)=0, 而f (m) (t)=m! 所以L [m!]=L [f (m) (t)]=s mL [f(t)]-s m-1 f0)- s m-2 f '(0)-...-f (m-1)(0) 即 L [m!]=s mL [t m] (Re( ) 0). ! [ ] ! [ !] ! [1] 1 = = = + s s m t s m m m m m L L L 所以 而
此外,由拉氏变换存在定理,还可以得到象函 数的微分性质: 若<[f()=F(s),则 F(S=[tf(t], Re(s)>c 2.6) 和F()(s)=(-1)f(),Re(s)>C.(2.7) 这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和 求导可以调换次序 F(s)= es dt d s d d f(test=- tf(redt o d
8 此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函 数的微分性质: 若L [f(t)]=F(s), 则 F '(s)=L [-tf(t)], Re(s)>c. (2.6) 和 F(n) (s)=L [(-t) n f(t)], Re(s)>c. (2.7) 这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和 求导可以调换次序 + - + - + - = = - = = 0 0 0 ( ) e d ( ) e d d d ( ) e d d d ( ) d d f t t t f t t s f t t s F s s s t s t s t
例3求函数f)= t sin kt的拉氏变换 因为[1/=~h s<+k 根据上述微分性质可知 d k 2ks [ t sin ki小 dss2+k2(s2+k2)2 同理可得 d gIt cos kt ds s2+k 2 k S (s2+k2)2s2+k2(s2+k2)2(s2+ k—k
9 例3 求函数f(t)=t sin kt的拉氏变换. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 2 ( ) 2 d d [ cos ] ( ) 2 d d [ sin ] [sin ] s k s k s k s s k s k s k s s k s s t k t s k k s s k k s t k t s k k k t + - = + - - = + - + = = + = - + = + = - + = L L L 同理可得 根据上述微分性质可知 因为
3.积分性质若<[()=F(s) 贝 f(tdt=F(s) (28) 证设h()=f()dt,则有 h'(t)=f(t),且h(0)=0 由上述微分性质,有 [h(t)]=s[h(t)]-h(0)=s[h(t)], f(O)dr|=1[()2=-F()
10 3. 积分性质 若L [f(t)]=F(s) ( ) 1 ( ) 1 ( )d [ ( )] [ ( )] (0) [ ( )], , ( ) ( ), (0) 0 ( ) ( )d , ( ) (2.8) 1 ( )d 0 0 0 F s s f t s f t t h t s h t h s h t h t f t h h t f t t F s s f t t t t t = = = - = = = = = L L L L L L 即 由上述微分性质 有 且 证 设 则有 则