解的叠加原理: 若y1(x)和y2(x)分别是下列线性微分方程 4+(x)g(x)y=f(x) 的解, d 2+p(x)+q(x)y=/(x) 则H(x)+2(x)是线性微分方程 d 2+p(x)2+g(x)y=(x)+f(x)的解量 dx
解的叠加原理: 若 y1 (x) 和 y2 (x) 分别是下列线性微分方程 2 2 1 ( ) ( ) ( ) d y dy p x q x y f x dx dx 2 2 2 ( ) ( ) ( ) d y dy p x q x y f x dx dx 则 1 2 y x y x ( ) ( ) 是线性微分方程 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) d y dy p x q x y f x f x dx dx 的解。 的解, 6
二、二阶常系数齐次线性微分方程 定义: n阶常系数线性微分方程的标准形式 +piy "-1)+…+Pn1y+Pny=∫(x) P1,P2…,Pn为常数 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y"+p+qy=0p,q为常数; 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y+my+qy=f(x)p,q为常数
y py qy 0 ( ) ( 1) 1 1 ( ) n n n n y p y p y p y f x y py qy f x ( ) 定义: n 阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 1 2 , , , n p p p 为常数。 p q, 为常数； 二、二阶常系数齐次线性微分方程 p q, 为常数。 7
二阶常系数齐次线性微分方程解法 特征方程法 y+py+y=0 设y=e,将其代入上方程,得 (x2+p2+q)ex=0,:e>0 2+p+q=0 为二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程。 特征方程法与原微分方程比较:
二阶常系数齐次线性微分方程解法 -----特征方程法 y py qy 0 , 将其代入上方程, 得 x y e 设 2 ( ) 0 , x p q e 0 , x e 2 p q 0 为二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程。 特征方程法与原微分方程比较： 8
1)若42+pλ+q=0有两个不同的实根, 记为A&22, 原微分方程的两个特解: y,(r)=e, y2()=e2-, 1≠孔,巧(x)_八4xM)≠常数 y2(x) 则原微分方程的通解:y=C1e+C2e
1) 若 2 p q 0 有两个不同的实根， 记为 1 2 & , ∴原微分方程的两个特解: 1 1 ( ) , x y x e 2 2 ( ) , x y x e 1 2 , 1 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) y x x e y x 常数 则原微分方程的通解: 1 2 1 2 . x x y C e C e 9