定理5.2.2 如果{X(t),t∈T}是周期为L的周期 平稳过程，即有PX(什L)=X()}=1, 则Rx()也是周期函数，有R(t+L)=R(T) 证 P{X(t-x)X(t+L)=X(t-)X(t)}=1, →P{X(t-x)X(t+)-X(t-)X(t)=0}=1. EX(t-t)X(t+L)-X(t-t)X(t)=0, Rx(L+T)=Rx(T). 电子科技大学
电子科技大学 定理5.2.2 如果{X(t), t∈T }是周期为L的周期 平稳过程, 即有P{X(t+L)= X(t)}=1， 则RX(τ)也是周期函数, 有 R(τ +L)= R(τ). 证 P{X(t- )X(t L) X(t- )X(t)} 1, P{X(t- )X(t L) X(t- )X(t) 0} 1. E{X(t- )X(t L) X(t- )X(t)} 0, RX(L+τ)= RX(τ)
Ex.2设平稳过程X(t)的相关函数为Rx(t), 且Rx(什L)=Rx),L为一个常数，L>0,试证： X(t什L)=X()依概率为1成立； 定理 证因 Rx(0)-Rx(L)=0, 5.2.2 由切比雪夫不等式，对Vε>0， 的逆 PX+-Xo小esEX+-K 2 =3Rx0-Rx(L=0, → P{X(t+L)≠X(t)}=0, 电子科技大学
电子科技大学 Ex.2 设平稳过程X( t )的相关函数为RX(τ), 且RX(t+L)= RX(t), L为一个常数, L>0, 试证： X(t+L)=X(t) 依概率为1成立； 定理 5.2.2 的逆 证 因 由切比雪夫不等式，对 0, RX (0) RX (L) 0, 2 2 ( ) ( ) { ( ) ( ) } E X t L X t P X t L X t [ (0) ( )] 0, 2 2 RX RX L P{X(t L) X(t)} 0
定理5.2.3 实平稳过程{X),t∈T均方连续 的充要条件是相关函数R()在T=0处 连续，且此时R()处处连续。 证充分性设R()在=0处连续，则 对Vt,∈T, lim Rx(t-to)=Rx(0), t→t0 X()-X)]=EX()-X()IX()-X(t,)I》 =EX(t)X(t川+EX(t)X(t)川 -EX(t)X(to)川-EX(t)X(t)川 电子科技大学
电子科技大学 定理5.2.3 实平稳过程{X(t),t∈T}均方连续 的充要条件是相关函数RX (τ)在 处 连续, 且此时RX (τ)处处连续. 证 充分性 设RX (τ)在τ= 0 处连续, 则 0 对t T, 0 0 lim ( ) (0), X X t t R t t R 2 0 E[ X(t) X(t ) ] 0 0 E{[X(t) X(t )][X(t) X(t )]} 0 0 0 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] E X t X t E X t X t E X t X t E X t X t τ = 0
=2Rx(0)-Rx(t-t川→0，(ast→t0). 即X(t)在T上均方连续. 必要性若X(t)在仁t处均方连续，有 IimE可X(t)-X()'I=0 t→to 在上式，令t=t一，可得 lim[Rx(0)-Rx(r)川=0， c>0 即Rx()在t=0处连续. 任意性对任意0， 电子科技大学
电子科技大学 0 2[ (0) ( )] 0, RX RX t t 0 (as t t ). 即X( t )在T上均方连续. 必要性 若X( t )在 t=t0处均方连续, 有 lim [ ( ) ( ) ] 0 2 0 0 E X t X t t t 在上式, 令τ= t－t0，可得 lim[ (0) ( )] 0, 0 RX RX 即RX(τ)在τ=0处连续. 任意性 , 0 对任意
Rx(z)-Rx(o)=E{X(t)[X(t+z)-X(t+z)l} sElX(t)2JE[X(t+t)-X(t+to)] =R(O)EX(t+)-X(t+o)'], 由于X(t)在t+处均方连续，有 lim EI X(t+)-X(t+)]=0 t→T0 lim Rx()=Rx(o) T→T0 由t0的任意性知R(⑦)处处连续， 电子科技大学
电子科技大学 2 0 ( ) ( ) RX RX 2 0 E{X(t)[X(t ) X(t )]} [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] 2 0 2 E X t E X t X t (0) [ ( ) ( ) ], 2 0 2 R E X t X t X 由于X( t ) 在t +0处均方连续, 有 0 2 0 lim E[ X(t ) X(t ) ] 0 0 0 lim ( ) ( ) RX RX 由τ0 的任意性知RX (τ)处处连续