电子神发女学 厨 956 第三章 热传导方程 1
第三章 热传导方程 1
引言 ◆3.1基本解 ◆3.2初值问题 ◆3.3平均值等式 ◆3.4最大值原理与定解问题的适定性 ◆3.5热传导方程解的可微性与微商的估计 ◆3.6能量法 2
引言 2 3.1 基本解 3.2 初值问题 3.3 平均值等式 3.4 最大值原理与定解问题的适定性 3.5 热传导方程解的可微性与微商的估计 3.6 能量法
引言 设2是R"(n≥2)中的开集，本章研究适当初边值条件下的n维齐次热传导方程 u,-a2△u=0,x∈2，t>0, (3.0.1) 和非齐次热传导方程 u,-a△u=f(x,t),x∈2，t>0, (3.0.2) 其中，a>0是常数。 热传导方程是最简单最典型的抛物型方程。研究热量的传导过程、气体的扩 散现象及电磁场的传播时，都会遇到这类方程。在统计物理、概率论及量子力 学中也要用到这种方程。本章研究热传导方程的定解问题及解的性质。不失一 般性，下文将设方程（3.0.1)和（3.0.2)中系数a=1
3 设 是 2 中的开集，本章研究适当初边值条件下的n维齐次热传导方程 n n 2 0, , 0, t u a u x t （3.0.1） （3.0.2） 引言 和非齐次热传导方程 2 ( , ), , 0, t u a u f x t x t 其中，a>0是常数。 热传导方程是最简单最典型的抛物型方程。研究热量的传导过程、气体的扩 散现象及电磁场的传播时，都会遇到这类方程。在统计物理、概率论及量子力 学中也要用到这种方程。本章研究热传导方程的定解问题及解的性质。不失一 般性，下文将设方程（3.0.1）和（3.0.2）中系数a=1
电子神发女学 例 956 3.1基本解 4
3.1 基本解 4
3.1基本解 和研究位势方程一样，研究特殊结构的解是研究热传导方程的第一步。容易 验证，函数 e 1,x∈R”,t>0 Φ(x,)=(4πt0)月 (3.1.1) 0. x∈R",t<0 满足方程(3.0.1)。 定义：函数Φ(x,t)称为热传导方程的基本解。 Φ的奇异点是(0,0)，下文有时记Φ(x,t)=Φ(x,),用以强调基本解关于变量x 1 是径向的。设置常数 4x月 的原因在于下面的结论。 5
3.1 基本解 5 和研究位势方程一样，研究特殊结构的解是研究热传导方程的第一步。容易 验证，函数 定义：函数 称为热传导方程的基本解。 的奇异点是 ，下文有时记 ，用以强调基本解关于变量x 2 4 2 1 , , 0 , : 4 0, , 0 x t n n n e x t x t t x t x t, (0,0) x t x t , , 2 1 4 n （3.1.1） 满足方程（3.0.1）。 是径向的。设置常数 的原因在于下面的结论