显然,序列a0+b,a1+b, G+b,……中只有有限项不为零.故∫(x)+9(c)仍为多 项式 我们具体写一个多项式∫(x)=∑Gx时,经常把系数为零的项省去例如1+0x+ 1+x2 f(r)+g(r) 容易验证,加法有下列运算律 1.交换律:∫(x)+g(x)=9(x)+f() 2.结合律:(f(x)+9(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x) 0+f(x)=f(x) 4.设∫(x)=∑x,记-f(x)=∑(-c)x2.则 f(x)+(-f(x) 有了加法及其运算规律特别是结合律,多项式f(x)=a0+a1x+…+anxn可以看成是多项 式a0,a1T an的和于是再由交换律,它们的次序可以任意排列,求和之后是不变的.因而 个多项式不一定按升幂次序排列.例如1+3x+5x2也可写成5x2+3x+1,1+52+3r等等 定义4P]中多项式∫(x),g(x)的差定义为 f(x)-g(x)=f(x)+(-9(x) 如果∫(x)=∑ax,9(x)=∑在x,则 ∫(x)-9()=∑(a1-b)x 减法的性质与加法的性质不一样.特别注意 (x)-f(x)=-(f(x)-9(x), (f(x)-9(x)-h(x)=f(x)-(g(x)+h(x) 定义5P]中多项式∫(x)=∑a,9()=∑bm的积定义为 f(ar)g(r ibj 11
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如果记f(x)g(x)=∑ckx,则 ai bj aobk +anbk-1+.+ak_1b + ak.bo k=0,1, 如果degf(c)=m,即a=0.,i>m;deg(x)=7,即b=0,j>n.于是,k>m+7 时,若讠+j=k,则必有2>m,或j>.于是ab=0.因而C=0,k>m+n.所以 f(x)g()∈Pr] 例2设∫(x)=1x2+1x+1,g(x)=1x2-Lx+1.则 f(x)g(x)=1x4+1x2+1 容易证明乘法有下面的运算律 1.交换律:∫(x)g(x)=g()f(x) 2.结合律:(f(x)g(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x) 事实上,设f(x)=∑a;x2,g(x)=∑bx,h(x)=∑Gx.于是 =0 (f(r)g(r))h(a) b m=0\+k=m Ch m=0 \i+n=m f(r)(g(r)h(r)) 3.1·f(x)=f(x) 4.0·f(x)=0 乘法与加法之间有分配律 (f(x)+g(x)h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x) 事实上, Cj
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iCi正 k=0i+i=k j=0 如果多项式fa的、次项为,x,即 我们就记为x2k由结合律,我们可以将多项式x2 看成T· 易证,多项式的运算与次数之间有下面的关系 degnfraca义g≤ m>edeg∫ a deg gracia degnfrcagrucaa= deg fraca, deg graca 特别,由第二个关系立即得到下面结果. frga=h当且仅当fa=h或ga=h
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13带余除法 两个多项式相除,不一定是多项式.也就是说,在多项式的范围来讨论问题,原则上是不能用除法的 种替代的办法是所谓的带佘除法 定义1设P是一个数域f(x),g(x)∈P].且g(x)≠0.如果q(x),T(x)∈P[x]满 足下面条件: 1)f(r)=g(r)ar)+r(ar 2)r(=0u deg r(r)< deg g(r), 则称q(x)是g(x)除f(x)的商(式),r(x)为g(x)除∫(x)的余(式) 自然,∫(x),g(x)分别叫做被除式,除式 例1求x2-3x+1除 4c2-5+6的商式和余式 解我们可以用如下算式进行运 13 6 39x+13 由此可知,商式,余式分别为3m+13,3Lc-7 如果f(x)=a,g(x)=x-a.那么余式T∈P.商式q(x)=b;x3.此时有下面 关系式: b i =ab i tai 特别, ai a'=f(a) 于是,可用下表算出q(x)的各项系数与 八 bn-I bn-2... b. 这就是所谓的综合除法 例2求x+1除8m)+x2+4x-6的商式与余式 解用综合除法列表如下 910 即余式为零,商式为 9x2+10x-6 例3求-3除2“Ⅱ32)+x=3的商式与余式
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解用问合除法列表如下 251236109324 因而商式为24+5:3+122+36+109,围式为324 一般,商式与围式是否存数?如果存数,是否唯一?如时问题是数为中经常碰到的问题.下面定理就 是回答 定可1设各(:),分:)∈”[],且分:)块0.特各(:)除以分:)的商式与围式存数唯 列首先行3商式定:)与围式此)存数 如果各:)=0或deg各)<deg分),特取定:)=0,此:)=各),即 各(:)=分)0+备()表 所以0,各(:)分别为商式与围式 围下讨论deg各()≥deg分:)的情况由于deg:)<deg分:)的情况题经成立.故可对 各()的次数用第二归纳法来行3.设 各(:) 各()=()-:)29日 特 各()<deg各(:)表 于是是定(),此:)∈”[],使得 各()=分)定()+此 此:)=0或deg此,)<deg分:)表 将(2)代入(1),整理后可得 证 各)=:)229口+定()+此)表 于是品Q口+定(),此)分别为饼)除备)的商式与围式 项行商式与围式的唯一下 设冠),此)与p(),s()都是分:)除各,)的商式与围式因而 :)=分)定)+此:)=分)p(:)+s()表 此:)-8()=分)(()-定,)表
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