⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 几何解释: 只要n充分大(m>N),在区间I上所有曲 线y=Sn(x)将位于曲线 y=(x)+E与y=s(x)-E之间 y=s(x)+8 =s(x) y=s(r-E tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 只要 n充分大 (n N),在区间 I 上所有曲 线 y s (x) = n 将位于曲线 y = s(x) + 与 y = s(x) − 之间. x y o I y = s(x) − y = s(x) + y = s(x) y s (x) = n 几何解释:
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2研究级数 x+1(x+2x+1 x+n x+n-1 在区间[0,+∞)上的一致收敛性 解 S(x)= x+n s(x)=lims, (x)=lim 0(0≤x<+) n1→0 n=oox+n 余项的绝对值 s(x)-Sn(x)=s(0≤x<+∞) x+nn tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 研究级数 + + − + + + + + − + + + 1 1 1 1 1 2 1 1 1 x x x x n x n 在区间[ 0,+ )上的一致收敛性. 例2 解 , 1 ( ) x n s n x + = 0 (0 ) 1 ( ) lim ( ) lim = + + = = → → x x n s x s x n n n 余项的绝对值 (0 ) 1 1 ( ) ( ) + + = − = x x n n r n s x s n x
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 对于任给E>0,取自然数N≥ 则当n>N时,对于区间0,+0上的一切x, 有r(x)<8, 根据定义 所给级数在区间[0,+o上一致收敛于(x)≡0 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 对于任给 0，取自然数 1 N ， 则当n N 时，对于区间[0,+]上的一切 x， 有 rn (x) ， 根据定义， 所给级数在区间[0,+]上一致收敛于s( x) 0
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例3研究例1中的级数 x+(x2-x)+(x-x2)+…+(x"-x")+… 在区间(0,1内的一致收敛性 解该级数在区间01)内处处收敛于和(x)≡0,但 并不一致收敛 对于任意一个自然数n,取x=,于是 2 2 但s(x)=0,从而r(x,)=(x,)-s,(x,) 2 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 研究例1中的级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 在区间( 0 , 1]内的一致收敛性. 解 该级数在区间(0,1)内处处收敛于和 s(x) 0，但 并不一致收敛． 对于任意一个自然数 n , 取 n n x 2 1 = ，于是 , 2 1 ( ) = = n n x n x n s ( ) = 0, x n 但 s . 2 1 从而 r n (x n ) = s(x n ) − s n (x n ) =
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 只要取E<,不论n多么大,在(0,1)总存在点xn, 使得r(x,)>G, 因此级数在(0,1)内不一致连续 说明:虽然函数序列s(x)=x"在(0,1)内处处收敛于 s(x)≡0,但s(x)在(0,1)内各点处收敛于零的“快慢” 程度是不一致的 从下图可以看出: tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 只要取 2 1 ，不论 n多么大，在(0,1)总存在点 n x ， ( ) , n x n 使得 r 因此级数在( 0, 1 )内不一致连续． 说明: 从下图可以看出: 但 虽然函数序列 n s n (x) = x 在( 0, 1 )内处处 s(x) 0, s (x) n 在( 0, 1 )内各点处收 收敛于 程度是不一致的． 敛于零的“快慢