费马定理 定理 设∫(x)在区间Ⅰ内有定义,且在I内某点 ξ处取极大(小)值若f()存在,则必有 f(2)=0 可微函数在区间内部取极值的必要条件是 函数在该点的导数值为零
设 f (x) 在区间 I 内有定义, 且在 I 内某点 处取极大（小）值. 若 f ()存在, 则必有 f () = 0. 一. 费马定理 可微函数在区间内部取极值的必要条件是 函数在该点的导数值为零. 定理
费马定理的几何解释 y 女 P 何 y=f() 证 日 b
O x y y = f (x) a b P 费马定理的几何解释 如 何 证 明 ？
证设f(x)在区间I内有定义,且在x=5处 取极大值/()则有f(x)=C是特殊情况 f(x)s八()x∈0()如何保证函 数在区间内 若f()存在,则 部取极值? f(5)=lim f(5+x)-f() <0 △x→>0+ △x ∫'(2)=lim f(+△x)-f() 0 x→ 0 △x 于是 f(2)=0 (极小值类似可证)
设 f (x) 在区间 I 内有定义, 且在 x = 处 取极大值 f ( ), 则有 U( ) ˆ f (x) f ( ) x 若 f () 存在, 则 0 , ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → + + x f x f f x 0 , ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → − − x f x f f x 于是 f () = 0. （极小值类似可证） f (x) C 是特殊情况 证 如何保证函 数在区间内 部取极值？
f(x)∈C(La,b])可保证f(x) 在[{a,b]内取到它的最大最小值 =/(x)但是 回不解证在内部!da
f (x)C([a, b]) 可保证 f (x) 在[a, b]内取到它的最大最小值. O x y a b y = f (x) 但是……
f(x)∈C(a,b]) f(x)在(a,b)存在 可保证在内部一点取到极值f(a)=f(b) y P f'(2)=0 y=f() 水平白
O x y y = f (x) P a b f (a) = f (b) f (x)C([a, b]) f (x) 在(a, b) 存在 f () = 0 水平的 可保证在内部一点取到极值