二,罗尔中值定理 定理 设(1)f(x)∈C([a,b]); (2)f(x)在(a,b)内可导 (3)f(a)=f(b), 则至少存在一点∈(a2b),使得f()=0
二. 罗尔中值定理 设 (1) f (x)C([a, b]); (2) f (x) 在 (a, b)内可导; (3) f (a) = f (b), 则至少存在一点 (a, b), 使得 f () = 0. 定理
y=f() B 实际上切线与弦线AB平行
O x y y = f (x) a b A B 实际上, 切线与弦线 AB 平行
证∵f(x)∈C(a,b) f(x)必在[a,b上取到它的最大值 最小值至少各一次 a M= max f(x), m= min f(x) x∈[a,b x∈[a,b (1)若M=m ∵m≤f(x)≤MVx∈[a,b f(x)=m x∈a 故V5∈(a,b),均有f()=0
f (x)C([a, b]) f (x) 必在[a, b]上取到它的最大值、 最小值至少各一次. max ( ), min ( ) [ , ] [ , ] M f x m f x x a b x a b 令 = = (1) 若 M = m m f (x) M x [a, b] f (x) = m x [a, b] 故 (a, b), 均有 f () = 0. 证
(2)若m<M(即M≠m) f(x)∈C([a,b]) f(x)些在[,b上取到它的最大值 最小值至少各一次 又f(a)=f(b) 故f(x)不能同时在x=a和x=b处分别取到M和m 即至少存在一点∈(a,b)2使得 f(5)=M或f(2)=m 由费马定理可知:f()=0∈(an,b)
(2) 若 m M (即M m) f (x)C([a, b]) f (x) 必在[a, b]上取到它的最大值、 最小值至少各一次. 又 f (a) = f (b), 故 f (x) 不能同时在 x = a 和 x = b 处分别取到M和m. 即至少存在一点 (a, b), 使得 f ( ) = M 或 f ( ) = m. 由费马定理可知： f () = 0 (a, b)
例1设abc4管为实数a<b< f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) 证明方程f(x)=0仅有三个实根并指出根所在区间 证」f(x)∈C(la,b[b,cl,l) 又f(a)=f(b)=f(c)=f(a)=0, f(x)是四次多项式在(-0,+∞)内可微 在[an,b,[b,c]c,d上运用罗尔中值定理,得 f(51)=f(2)=f(3)=0 其中 (a,b),2∈(b,c),53∈(c,d) 即∫(x)=0至少有三个实根
设a,b,c,d 皆为实数, a b c d, f (x) = (x − a)(x − b)(x − c)(x − d), 证明方程 f (x) = 0仅有三个实根, 并指出根所在区间. f (x)C([a, b],[b, c],[c, d]), 又 f (a) = f (b) = f (c) = f (d) = 0 , f (x) 是四次多项式, 在 (−,+)内可微, 在[a, b],[b, c],[c, d]上运用罗尔中值定理,得 ( ) ( ) ( ) 0. f 1 = f 2 = f 3 = 例1 证 其中, ( , ), ( , ), ( , ). 1 a b 2 b c 3 c d 即 f (x) = 0 至少有三个实根