我们常常需要从函数的导数所给出 的局部的或“小范围”性质.推出其整体的 或“大范围”性质.为此我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式 这些关系式称为“微分学中值定理” 这些中值定理的创建要归功于费马 拉格朗日、柯西等数学家
我们常常需要从函数的导数所给出 的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的 或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”. 这些中值定理的创建要归功于费马、 拉格朗日、柯西等数学家
首先,从直观上来看看 函数的差育与函数的导数间的基本关系式” 是怎么一回事
首先, 从直观上来看看 “函数的差商与函数的导数间的基本关系式” 是怎么一回事
导数与差商 点P处切线的斜率 yy=f(x)可微 k=f(o) B 相等! 割线AB的斜率: k f(x2)-f(x1) x XX
O x y 1 x 2 x y = f (x) 可微 A B P 0 x 2 1 2 1 ( ) ( ) x x f x f x k AB − − = 割线 的斜率： ( )0 k f x P = 点 处切线的斜率： 导数与差商 相等！
将割线作平行移动,那么它至少有一次会 达到这样的位置 在曲线上与割线距离最远的那一点尸处成 为切线,即在点尸处与曲线的切线重合 也就是说,至少存在一点5∈(x,x2),使得 f∫"(2) f(x2)-f(x1) 2 该命题就是微分中值定理
2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) x x f x f x f − − = 将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置： 在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成 为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合. ( , ) , 1 2 也就是说, 至少存在一点 x x 使得 该命题就是微分中值定理
极值的定义 设f(x)在U(x)内有定义,若 f(x)≤f(x0)x∈U(x0) 则称f(x)为f(x)的极大值,x0为函数的极大点 f(x)≥f(x0)x∈U(x0), 则称f(x)为f(x)的极小值,x为函数的极小点
极值的定义 设 f (x) 在 U(x0 )内有定义, 若 U( ), ˆ ( ) ( ) 0 0 f x f x x x ( ) ( ) , 则称 f x0 为 f x 的极大值U( ), ˆ ( ) ( ) 0 0 f x f x x x ( ) ( ) , 则称 f x0 为 f x 的极小值 . x0为函数的极大点. x0为函数的极小点