高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第二十六讲定积分的计算 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第二十六讲 定积分的计算 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
第五章一元函数的积分 本章学习要求: 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式 理解广义积分的概念掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限
第五章 一元函数的积分 本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. ▪ 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限
由牛顿—莱布尼兹公式,可以通过不定积分来 计算定积分.一般是将定积分的计算截然分成两步 先计算相应的不定积分,然后再运用牛顿莱布尼 兹公式代值计算出定积分.这种作法相当麻烦,我们 希望将不定积分的计算方法与牛顿莱布尼兹公式 有机地结合起来,构成定积分自身的计算方法定 积分的换元法和定积分的分部积分法
由牛顿——莱布尼兹公式，可以通过不定积分来 计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步： 先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿——莱布尼 兹公式代值计算出定积分. 这种作法相当麻烦，我们 希望将不定积分的计算方法与牛顿——莱布尼兹公式 有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法——定 积分的换元法和定积分的分部积分法
例1 计算「√1-x2dx 令x=sint 0 解先用不定积分求被积函数的一个原函数: 1-x'dx= cos tdt (1+cos 2*)dt t sin 2t 4*C arcsinx+-X 由牛顿——莱布尼兹公式,得 √1 x dx arcsinx+-x 0 4
例 1解 1 d . 10 2 计算 − x x 先用不定积分求被积函数的一个原函数： 1− x d x = cos t dt 2 2 令 x = sin t (1 cos 2t)dt 21 = + C t t = + + 4 sin 2 2 = x + x − x + C 2 1 21 arcsin 21 由牛顿 ——莱布尼兹公式， 得 . 4 1 21 arcsin 21 1 d 10 2 10 2 = − = + − x x x x x
0≤x≤1 例1 计算「√1-x2dx 令x=sint 0 丌 0 解先用不定积分求被积函数的一个原函数: 2 z -x dx cos'tdt=2(1+cos 2t)dt 0 t sin 2tT 24 由牛顿——莱布尼兹公式,得 √1 x dx arcsinx+-x 0 4 有什么想法没有?
例1 解 1 d . 1 0 2 计算 − x x 先用不定积分求被积函数的一个原函数： 1− x d x = cos t dt 2 2 令 x = sin t (1 cos 2t)dt 2 1 = + C t t = + + 4 sin 2 2 = x + x − x +C 2 1 2 1 arcsin 2 1 由牛顿——莱布尼兹公式， 得 . 4 1 2 1 arcsin 2 1 1 d 1 0 2 1 0 2 = − = + − x x x x x 0 x 1 2 0 t − = 2 0 2 1 0 2 1 d cos d x x t t (1 cos 2t)dt 2 1 2 0 = + 2 4 0 sin 2 2 = + t t . 4 = 有什么想法没有？