高等院校非数学类本科数学课程：《大学数学》课程PPT教学课件（一）一元微积分学课件 第21讲 泰勒中值定理

x 通常可记5=x+6(x-x0)(0<6<1), f(x)=f(xo)+f(o)x-o)+n(sol(x-x 2! +…+((x-M/2 (n+1) x+0x-)(x) n+ (0<6<1

通常可记  = x0 + (x − x0 ) (0  1), 则 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x = f x + f  x x − x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x −  + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − 1 0 0 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ( )) + + − + + − + n n x x n f x  x x (0  1) 0 x  x

带拉格朗日余项的马克劳林公式 f((0)、k x+r(x k=0 k f(0)+f(0)x+0 2! f("(0)n,f(n)(0x)n x+= (n+1)! (0<6<1) 就是x=0时的泰勒公式

( ) ! (0) ( ) 0 ( ) x R x k f f x n k n k k =  + = = f (0) + f (0) x 2 2! (0) x f  + n n x n f ! (0) ( ) ++ 1 ( 1) ( 1)! ( ) + + + + n n x n f  x 带拉格朗日余项的马克劳林公式 (0  1) 0 . 就是 x0 = 时的泰勒公式

设带拉格朗日余项的二阶泰勒公式为 f(x)=f(x)+f(x0)(x-x0)+ 2!(x-x0)2+R2(x) 与带皮亚诺余项的二阶泰勒公式比较。此时应有 R2(x) =0(R2(x)=0(x-x0))) x-xo(x-xo) 不妨设 R2(x)=(x-x0)q1(x) 其中q1(x)是待定函数从而 f(x)=f(x0)+f(x0(x-x0)+ f(Xo(x-xo 2! +(x-x0)3q1(x)

设带拉格朗日余项的二阶泰勒公式为 ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 0 0 0 0 0 x x R x f x f x f x f x x x − +  = +  − + 0 ( ( ) o(( ) ) ) ( ) ( ) lim 2 2 2 0 0 2 0 R x x x x x R x x x = = − → − ( ) ( ) ( ) , 1 3 2 0 R x = x − x  x ( ) . 其中 1 x 是待定函数 从而 2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f x f x f x f x x x −  = +  − + 不妨设 与带皮亚诺余项的二阶泰勒公式比较, 此时应有 ( ) ( ) 1 3 0 + x − x  x

f(x)-f(x0)-f(x0(x-x0) X-X P,(x) 2! X-X 如果,令 F(x=f(x)-f(ro)-f(xo(x-xo) G1(x)=(x-x0), 则F1(x0)=0,G1(x0)=0;F1(x)=0,G(x0)=0 (x0)=0,G1(x0)=0 假设F1(x)G1(x)2F(x)G(x),F"(x)G(x)满足柯西 中值定理条件

, ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 0 2 0 0 0 0 0 1 x x x x f x f x f x f x x x x − −  − −  − −  = 如果, 令 ( ) ( ) , 3 1 0 G x = x − x ( ) 0 , ( ) 0 ; 则 F1 x0 = G1 x0 = ( ) 0 , ( ) 0; F1  x0 = G1  x0 = ( ) 0, ( ) 0 , F1  x0 = G1  x0 = 假设 F1 (x),G1 (x), F1 (x),G1 (x),F1 (x),G1 (x) 满足柯西 由于 ( ) , 2! ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 0 0 1 0 0 0 x x f x F x f x f x f x x x −  = − −  − − 中值定理条件

则91(x) F(x)F(x)-F(x0)_F1(51) G1(x)G1(x)-G(x0)G(51) F(51)-F1(x)F1( G1(1)-G1(x)G() F"51)-Fx)F"()f"(5) G(1)-Gx)G)3 ssx f(x)=f(o)+f(ro(x-xo)+ f"(x) 2! (x-xo f∫"(5 31(x-x)3(在xx间) R2(x) f"(2 (x-x0)为二阶拉格朗日余项

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1    G F G x G x F x F x G x F x x   = − − 则 = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0     G F G G x F F x   =  −   −  = 2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f x f x f x f x x x −  故 = +  − + ( , )  在 x x0 之间 ( ) . 3! ( ) ( ) 3 2 x x0 为二阶拉格朗日余项 f R x −  =  , 3! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0      f G F G G x F F x  =   =  −   −  = 3 0 ( ) 3! ( ) x x f −  + 