带皮亚诺余项的马克劳林公式 k f(x)=∑ f(o)k x+oC x k! f(0)+f(0)x+y"(0 2/ f(o ∴∴ 々/x”+0(H 就是x=0时的泰勒公式
o( ) ! (0) ( ) 0 ( ) k n n k k x x k f f x = + = = f (0) + f (0) x 2 2! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) ++ o( ) n + x 带皮亚诺余项的马克劳林公式 0 . 就是 x0 = 时的泰勒公式
f(x)=f(x)+f(x0)(x-x0) +0(x-x0)2+0(x-x0)2) a3(x-x0)+0((x-x) x f(x)-f(x0)-f(x)(x-x0) X-X a,(X-x x→>x0 X-x 0 运用罗必达法则计算极限
( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x = f x + f x x − x ( ) o(( ) ) 2 ( ) 2 0 2 0 0 x x x x f x − + − + ( ) o(( ) ) 3 0 3 3 0 a x − x + x − x ? a3 = 3 0 3 3 0 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) lim 0 x x x x a x x f x f x f x f x x x x x − − − − − − − − → = 0 运用罗必达法则计算极限
0=1mf(x)-/(x)-(xXx-xo)-32a(x 3(x-x0) f"(x)-f(x0)-3.2 ·CL2(x-x x→>x0 3.2(x-x0) f"(x)-f(x0) xx3.2·(x-x0) 若f(x)存在,则a,=f"(x) x f(x)=f(x0)+f(x0(x-x)+ 2 f"(x0) (x-x0)3+o(x-x0)3) 3! 该公式称为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式
2 0 2 0 0 0 3 0 3( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 ( ) 0 lim 0 x x f x f x f x x x a x x x x − − − − − − = → 3 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 ( ) lim 0 0 3 0 0 x x f x f x a x x x x − − − − = → − − − = → 3 0 0 3 2 ( ) ( ) ( ) lim 0 a x x f x f x x x . 3! ( ) ( ) , 0 0 3 f x f x a 若 存在 则 = 2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f x f x f x f x x x − = + − + ( ) o(( ) ) 3! ( ) 3 0 3 0 0 x x x x f x − + − + 该公式称为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式
彷照以上的敵法继续进行下去 即可得到一般的带皮亚诺佘项的n阶 泰勒公式
仿照以上的做法, 继续进行下去, 即可得到一般的带皮亚诺余项的 n 阶 泰勒公式
二,带拉格眀日余项的泰勒公式 设∫(x)∈C(U(x)(k=0,1,2,…,n) f+(x)存在,则在该邻域内有 f(x)=∑ (x-xo)+r(x) k 其中R1(x) (x-x0)(在x,x之间) (n+1) 称为n阶拉格朗日余项 该公式称为n阶带拉格朗日余项的泰勒公式
( ) (U( )) ( 0,1, 2, , ), f x C x0 k n 设 k = ( ) , f (n+1) x 存在 则在该邻域内有 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x k f x f x n k n k k = − + = ( ) ( 1)! ( ) ( ) 1 0 ( 1) + + − + = n n n x x n f R x 其中 ( , ) 在 x x0 之间 称为n阶拉格朗日余项. 二. 带拉格朗日余项的泰勒公式 该公式称为n阶带拉格朗日余项的泰勒公式