高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(-) 元微积分学 第三十三讲一元微积分的应用(六 微积分在物理中的应用 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中
高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第三十三讲 一元微积分的应用(六) 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中 —— 微积分在物理中的应用
第六章一元微积分的应用 本章学习要求 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念,并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 熟练掌握“微分元素法″,能熟练运用定积分表达和计算· 些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限
第六章 一元微积分的应用 本章学习要求： ▪ 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 ▪ 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 ▪ 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 ▪ 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 ▪ 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一 些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限
第六章一元微积分的应用 第八节微积分在物理学中的应用 变力沿直线作功 液体的静压力 、连续函数的平均值
第六章 一元微积分的应用 第 八 节 微积分在物理学中的应用 一、变力沿直线作功 二、液体的静压力 三、连续函数的平均值
变力沿直线作功 设变力f(x):其方向沿x轴正向大小随x值的变化而变化 变力f(x)推动物体,从点x=a处沿x轴正向运动到点 点x=b处(a<b)所作的功为:Vx∈(a,b],△x>0 当△x很小时,可视物体在区间 [x,x+△x]上,以变力在点x处的值 f(x) f(x)按常力作功,其值为 x x+ax bx △W=f(x)△x 于是,变力沿直线作功问题的微分元素为:dW=f(x)dx
一、变力沿直线作功 设变力 f (x): 其方向沿x轴正向, 大小随 x 值的变化而变化. 变力 f (x) 推动物体, 从点x = a 处沿x 轴正向运动到点 点x = b处(a b) 所作的功为: O x x + x x y f (x) a b x(a, b], x 0. 当x 很小时, 可视物体在区间 f (x) 按常力 作功, 其值为 [x, x + x]上, 以变力在点x处的值 W = f (x)x. 于是, 变力沿直线作功问题的微分元素为: dW = f (x)d x
由于功对区间具有可加性, 故变力∫(x)沿直线移动物体所做 y=f() 的功为: 积分区间:x∈[a,b] b x 微分元素:dW=f(x)dx 变力作功的几何表示 功的计算:W=JdW=」f(x)dx
由于功对区间具有可加性, 的功为: 积分区间: x[a, b]. 微分元素: dW = f (x)d x. : d ( )d . = = b a b a 功的计算 W W f x x O x y a b W y = f (x) W 故变力 f (x)沿直线移动物体所做 变力作功的几何表示