带皮亚诺余项的泰勒公式 设∫(x)∈C"(U(x0))(=0,1,2,…,n-1), f(x)存在,则在该邻域内有 f(x) f“(x) (x-x0)+0(x-x)") k=0 k =f(x0)+∫(x0)(x-x)+ X-x 2! +…+G(x-xy+0(x-xy 该公式称为n阶带皮亚诺余项的泰勒公式
( ) (U( )) ( 0,1, 2, , 1), f x C x0 k = n − 设 k ( ) , 0 f (n) x 存在 则在该邻域内有 ( ) o(( ) ) ! ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) k n n k k x x x x k f x f x = − + − = ( ) ( )( ) 0 0 0 = f x + f x x − x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − o(( ) ) 0 n + x − x 该公式称为n阶带皮亚诺余项的泰勒公式. 带皮亚诺余项的泰勒公式
带拉格朗日余项的泰勒公式 设∫(x)∈C(U(x)(k=0,1,2,…,n) f+(x)存在,则在该邻域内有 f(x)=∑ (x-xo)+r(x) k 其中R1(x) (x-x0)(在x,x之间) (n+1) 称为n阶拉格朗日余项 该公式称为n阶带拉格朗日余项的泰勒公式
( ) (U( )) ( 0,1, 2, , ), f x C x0 k n 设 k = ( ) , f (n+1) x 存在 则在该邻域内有 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x k f x f x n k n k k = − + = ( ) ( 1)! ( ) ( ) 1 0 ( 1) + + − + = n n n x x n f R x 其中 ( , ) 在 x x0 之间 称为n阶拉格朗日余项. 带拉格朗日余项的泰勒公式 该公式称为n阶带拉格朗日余项的泰勒公式