二、反函数的导数法则 定理如果函数x=(y)在某区间内单调、可导 且φ(y)≠0,那末它的反函数y=f(x)在对应区间 I内也可导,且有 cp(x) 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数
二、反函数的导数法则 定理 . ( ) 1 ( ) , ( ) 0 , ( ) ( ) x f x I y y f x x y I x y = = = 内也可导 且 有 且 那末它的反函数 在对应区间 如果函数 在某区间 内单调、可导 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
证任取x∈Ix,给x以增量△x(△x≠0,x+△x∈Ix) 由y=f(x)的单调性可知△y≠0 于是有 △xΔx’∵∫(x)连续, △ Δy→0(△x→>0),又知q(y)≠0 f(x)=nN=11 Ax→0△x4y→0△xq′(y) 即f(x) (y)
证 , x 任取x I 给x以增量x 由y = f (x)的单调性可知 y 0, 于是有 , 1 y x x y = f (x)连续, y → 0 (x → 0), 又知( y) 0 x y f x x = →0 ( ) lim y y x = → 1 lim 0 ( ) 1 y = . ( ) 1 ( ) y f x 即 = ( 0, ) x x x + x I
例6求函数y= arcsin x的导数 解∵x=sin在n∈( T兀 22单调、可导, 且(siny)′=cosp>0,∴在I∈(-11)内有 (arcsin x) (siny)’cosy 1-sin y 2 同理可得( arccos)= (arctan x)==; (arc cotx 1+x 1+x
例6 求函数 y = arcsin x的导数. 解 ) , 2 , 2 sin 在 ( 内单调、可导 x = y I y − 且 (sin y) = cos y 0, 在I x (−1,1)内有 (sin ) 1 (arcsin ) = y x cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = 2 1 . 1 x = − 2 1 (arccos ) . 1 x x = − − 同理可得 2 2 1 1 (arctan ) ;( cot ) . 1 1 x arc x x x = = − + +
例7求函数y= logan的导数 解∵x=m"在Ⅰ,∈(-0,+0)内单调、可导, 且(a")=ala≠0,∴在Ix∈(0,+∞内有, (oga x) (a")’ aIna xIn a 特别地(nx)
例7 求函数 y log x的导数. = a (a ) = a ln a 0, 且 y y 在 (0,+)内有, x I ( ) 1 (log ) = a y a x a a y ln 1 = . ln 1 x a = 解 = 在 (− ,+ )内单调、可导, y y x a I 特别地 . 1 (ln ) x x =