例题分析 例1求y=x 3=2x+sinx 的导数 解y=3x2-4x+cosx 例2求y=sin2xlnx的导数 解y=2sinx·c0sxlx y=2cos x cos x Inx+ 2sin x(sin x). Inx +2sin x cos x. 2 cos 2xInx+sin 2x
例题分析 例1 2 sin . 求 y = x 3 − x 2 + x的导数 解 2 y = 3x − 4x 例2 求 y = sin 2x ln x的导数 . 解 y = 2sin x cos x ln x y = 2cos x cos x ln x+ 2sin x (− sin x) ln x x x x 1 + 2sin cos + cos x. sin 2 . 1 2cos 2 ln x x = x x +
例3求y=tanx的导数 解y=(tanx sIn cos x (sin x)'cos x -sin x(cos x) 2 cos 2 cos + sin x sec d cos x cos 即(t tanr)=secx 同理可得 (cot x)=-cSC'x
例3 求 y = tan x的导数 . 解 ) cos sin = (tan ) = ( x x y x x x x x x 2 cos (sin ) cos − sin (cos ) = x x x 2 2 2 cos cos + sin = x x 2 2 sec cos 1 = = 2 即 (tan ) sec . x x = 2 同理可得 (cot ) csc . x x = −
例4求y=secx的导数 解y=(secx)=() cos d (cos x sin x =sextant cos cos 同理可得 (csc cscxcot x 例5求y= sinha的导数 解 y=(sinh x e-已 e te cosh。 同理可得 (cosh x)=sinh x; (tanh x) cosh"x
例4 求 y = sec x的导数 . 解 ) cos 1 = (sec ) = ( x y x x x 2 cos − (cos ) = = sec x tan x. x x 2 cos sin = (csc ) csc cot . x x x = − 同理可得 例5 求 y = sinh x 的导数 . 解 ( )] 2 1 = (sinh ) = [ − x − x y x e e ( ) 2 1 x x e e − = + = cosh x. 同理可得 2 1 (cosh ) sinh ;(tanh ) cosh x x x x = =
x<0 例5设∫(x)=(+x,xEO’9 解当x<Q时,∫(x)=1, 当x>0时 ∫"(x)=lim In(1+x+h)-In(1+x) h→>0 h =lim=In(1+ h→>0 h 1+x 1+x
例 5 , ( ). ln(1 ), 0 , 0 ( ) f x x x x x f x + 设 = 求 解 当 x 0 时 , f ( x ) = 1 , 当 x 0 时 , h x h x f x h ln(1 ) ln(1 ) ( ) lim0 + + − + = → ) 1 ln( 1 1 lim0 x h h h + = + → , 1 1+ x =
当x=0时 ∫" (0)=lim (0+h)-ln(1+0) h→0 f(0=lim ln[1+(0+h)l-ln(1+0) h→0 h f∫(0)=1 x<0 ∴f(x)= r>0 1+x
当x = 0时, h h f h (0 ) ln(1 0) (0) lim 0 + − + = → − − = 1, h h f h ln[1 (0 )] ln(1 0) (0) lim 0 + + − + = + → + = 1, f (0) = 1. . , 0 1 1 1, 0 ( ) + = x x x f x