《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十五章 含参变量积分（15.2）含参变量的反常积分

定理15.2.3设函数f(x,y)和g(x,y)满足以下两组条件之一,则含 参变量的反常积分 f(x, yg(x, y)da 关于y在cd上一致收敛 1.(Abe判别法) (1)∫f(x,y)dx关于y在ed小上一致收敛 (2)g(x,y)关于x单调,即对每个固定的y∈e,d],g关于x是单 调函数; (3)g(x,y)一致有界,即存在正数L,使得 lg(x,y)L,a≤x<+∞,c≤y≤d

定理 15.2.3 设函数 f (x, y)和 g(x, y) 满足以下两组条件之一，则含 参变量的反常积分 ( , ) ( , )d a f x y g x y x +   关于 y 在[c,d]上一致收敛。 1．（Abel 判别法） （1） ( , )d a f x y x +  关于 y 在[c,d]上一致收敛； （2）g(x, y)关于x单调，即对每个固定的 y [c, d]， g 关于x是单 调函数； （3）g(x, y)一致有界，即存在正数L ，使得 | g(x, y) | L, a  x  +, c  y  d

2.( Dirichlet判别法) (1)Jfx,y)dx一致有界,即存在正数L,使得 (x则)5,<4+,y∈Lcd (2)g(x,y)关于x单调,即对每个固定的y∈e,d],g关于x是单 调函数 (3)当x→+∞时g(x,y)关于y在[c上一致趋于零,即对于任意 给定的c>0,存在与y无关的正数A,使得当x≥A时,对于任意 y∈[c,d成立 lg(x,y)E

2．（Dirichlet 判别法） （1） ( , )d A a f x y x  一致有界，即存在正数 L ，使得 ( , )d A a f x y x L   ，a  A  +， y [c, d]； （2）g(x, y)关于x单调，即对每个固定的 y [c, d]， g 关于x是单 调函数； （3）当x → +时g(x, y)关于 y 在[c,d]上一致趋于零，即对于任意 给定的  0 ，存在与 y 无关的正数 A0 ，使得当 A0 x  时，对于任意 y [c, d]成立 | g(x, y) | 

证我们只证明Abel判别法, Dirichlet判别法的证明类似。 由于Jf(x,y)x在ed上一致收敛,由 Cauchy收敛原理,对于 任意给定的E>0,存在与y无关的正数A4,使得当n,A>A时, f(x, y)dx< 那么当A,A>A时,对于任意y∈c,d],由积分第二中值定理, f(x,y)g(x, y)dx=8(A,y) f(x, y)dx+g(A, y) f(x,y ≤8(A,y/(x+g(,)(xy)<2 其中在A与f之间。于是由定理1521,「f(x,ydx在4上一致 收敛

证 我们只证明 Abel 判别法，Dirichlet 判别法的证明类似。 由于 ( , )d a f x y x +  在[c,d]上一致收敛，由 Cauchy 收敛原理，对于 任意给定的  0，存在与 y 无关的正数 A0，使得当 0 A , A  A 时， ( , )d A A f x y x     。 那么当 0 A , A  A 时，对于任意 y [c, d]，由积分第二中值定理， ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d 2 , A A A A A A f x y g x y x g A y f x y x g A y f x y x g A y f x y x g A y f x y x L         = +   +        其中 在 A与 A之间。于是由定理 15.2.1， ( , )d a f x y x +  在[c,d]上一致 收敛

证我们只证明Abel判别法, Dirichlet判别法的证明类似。 由于Jf(x,y)x在ed上一致收敛,由 Cauchy收敛原理,对于 任意给定的E>0,存在与y无关的正数A4,使得当n,A>A时, f(x, y)dx< 那么当A,A>A时,对于任意y∈c,d],由积分第二中值定理, f(x,y)g(x, y)dx=8(A,y) f(x, y)dx+g(A, y) f(x,y <lg(4, D5 /(x, D)dx+1g(A', D)/2 f (*, D)dx<2LE 其中在A与f之间。于是由定理1521,「f(x,ydx在4上一致 收敛 关于无界函数的含参变量反常积分的一致收敛性,同样有 Cauchy 收敛原理, Weierstrass判别法,Abel判别法和 Dirichlet判别法

关于无界函数的含参变量反常积分的一致收敛性，同样有Cauchy 收敛原理，Weierstrass 判别法，Abel 判别法和 Dirichlet 判别法。 证 我们只证明 Abel 判别法，Dirichlet 判别法的证明类似。 由于 ( , )d a f x y x +  在[c,d]上一致收敛，由 Cauchy 收敛原理，对于 任意给定的  0，存在与 y 无关的正数 A0，使得当 0 A , A  A 时， ( , )d A A f x y x     。 那么当 0 A , A  A 时，对于任意 y [c, d]，由积分第二中值定理， ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d 2 , A A A A A A f x y g x y x g A y f x y x g A y f x y x g A y f x y x g A y f x y x L         = +   +        其中 在 A与 A之间。于是由定理 15.2.1， ( , )d a f x y x +  在[c,d]上一致 收敛