一致收敛的判别法 下面仅以厂f(xy)x为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况,结果是类似的。 定理15.21( Cauchy收敛原理)含参变量反常积分f(xy)dx 在c,d上一致收敛的充分必要条件为:对于任意给定的E>0,存在与 y无关的正数A4,使得对于任意的A,A>A,成立 Af(xy)dx<,y∈c,d
一致收敛的判别法 下面仅以 ( , )d a f x y x + 为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况，结果是类似的。 定理 15.2.1（Cauchy 收敛原理） 含参变量反常积分 ( , )d a f x y x + 在[c,d]上一致收敛的充分必要条件为：对于任意给定的 0，存在与 y 无关的正数 A0，使得对于任意的 0 A , A A ，成立 ( , )d A A f x y x ， y [c, d]
一致收敛的判别法 下面仅以厂f(xy)x为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况,结果是类似的。 定理15.21( Cauchy收敛原理)含参变量反常积分f(xy)dx 在c,d上一致收敛的充分必要条件为:对于任意给定的E>0,存在与 y无关的正数A4,使得对于任意的A,A>A,成立 Af(xy)dx<,y∈c,d 由 Cauchy收敛原理立即得知: 推论15.2.1若存在50>0,使得对于任意大的正数A4,总存在 A,A>A及y∈[c,d,使得 f(xy4)20, 那么含参变量反常积分J(xydx在c上非一致收敛
由 Cauchy 收敛原理立即得知： 推论 15.2.1 若存在 0 0，使得对于任意大的正数 A0 ，总存在 0 A , A A 及 [ , ] 0 y A c d ，使得 0 0 ( , )d A A A f x y x ， 那么含参变量反常积分 ( , )d a f x y x + 在[c,d]上非一致收敛。 一致收敛的判别法 下面仅以 ( , )d a f x y x + 为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况，结果是类似的。 定理 15.2.1（Cauchy 收敛原理） 含参变量反常积分 ( , )d a f x y x + 在[c,d]上一致收敛的充分必要条件为：对于任意给定的 0，存在与 y 无关的正数 A0，使得对于任意的 0 A , A A ，成立 ( , )d A A f x y x ， y [c, d]
定理15.2.2( Weierstrass判别法)如果存在函数F(x)使得 (1)|f(x,y)≤F(x),a≤x<+∞,c≤y≤d, (2)反常积分∫F(xdx收敛。 那么含参变量的反常积分fxy)d在c:上一致收敛
定理 15.2.2（Weierstrass 判别法） 如果存在函数 F(x) 使得 （1）| f (x, y) | F(x), a x +, c y d ， （2）反常积分 ( )d a F x x + 收敛。 那么含参变量的反常积分 ( , )d a f x y x + 在[c,d]上一致收敛
定理15.2.2( Weierstrass判别法)如果存在函数F(x)使得 (1)|f(x,y)≤F(x),a≤x<+∞,c≤y≤d, (2)反常积分∫F(xdx收敛。 那么含参变量的反常积分fxy)d在c:上一致收敛。 证因为∫F(xx收敛,由反常积分的 Cauchy收敛原理,对于任 意给定的>0,存在正数A,使得对于任意的A,A>A,成立 F(x)dx<a 因此当A,A>A时,对于任意y∈c,d,不等式 f(x, y)dx< F(x)odx<a 成立,由定理1521,∫F(x)在e4上一致收敛
证 因为 ( )d a F x x + 收敛，由反常积分的 Cauchy 收敛原理，对于任 意给定的 0，存在正数 A0 ，使得对于任意的 0 A , A A ，成立 ( )d A A F x x 。 因此当 0 A , A A 时，对于任意 y [c, d]，不等式 ( , )d ( )d A A A A f x y x F x x 成立，由定理 15.2.1， ( )d a F x x + 在[c,d]上一致收敛。 定理 15.2.2（Weierstrass 判别法） 如果存在函数 F(x) 使得 （1）| f (x, y) | F(x), a x +, c y d ， （2）反常积分 ( )d a F x x + 收敛。 那么含参变量的反常积分 ( , )d a f x y x + 在[c,d]上一致收敛
-ax 例1522证明∫。计关于a在D+)上一致收敛 解由于 0< ,0≤x<+∞,0≤a<+∞, 1+x21+x 而,dx=收敛,由 Weierstra别法, 在[0,+∞)上 01+ 致收敛
例 15.2.2 证明 2 0 e d 1 x x x − + + 关于 在 [0,+)上一致收敛。 解 由于 + + + + − , 0 , 0 1 1 1 e 0 2 2 x x x x ， 而 2 0 1 π d 1 2 x x + = + 收敛，由 Weierstrass 判别法， 2 0 e d 1 x x x − + + 在[0,+)上一 致收敛