一设f的正惯性指数为h一逆替换XY可逆f(x,;x)=db?+ .+dy, 且d o(i-l sn);不全为时·不全为の一>不全为数XER ER 且不全为D>于是有正定定义f(x:;x)=d?+:+dy?0习是定次型*1n阶实对称车A正定A与n弹单合同日n阶阵车G3A=CC证明n阶实对称阵车A正定一实二次型f=XAX是正定的K可逆线生替换X=CY，f=XAX=ZEZA与n阶单阵合同n阶可阵车C2A=CEC=CC
2 2 C 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 ( , , ) 0( 1, , ) , , 0 , , 0 0 , , , , 0 ( , , ) 0 n n n i n n n n n n n f n X CY f x x dy dy d i n x x y y x x R y y R f x x dy dy f → = = + + = ⎯⎯⎯→ → → = + + ⎯⎯⎯⎯→ 可逆 正定定义 设 的正惯性指数为 可逆线性替换 ， ，且＞ 不全为时， 不全为 不全为的数 ， ，且不全为 于是应有 ＞ 是正定二次型. / / / / / / *1 . , . n A A n n C A CC n A f X AX X CY f X AX ZEZ A n n C A CEC CC = = = = = = = 阶实对称矩阵 正定 与 阶单位矩阵合同 阶可逆矩阵 ， 证明： 阶实对称矩阵 正定 实二次型 是 正定的 可逆线性替换 与 阶单位矩阵合同 阶可逆矩阵
*2正定矩阵的行列式大Q证明可使得A3alaaCh中的子式2定义6矩阵A-aia2:: aianl(i=l2;n)称为矩阵A的顺字主子式定理实二次型f(x，;x)=X AX正定←>A的顺主子式全大于0.课件2023/3/11
2023/3/11 课件 8 *2 正定矩阵的行列式大于0. 证明： A正定 → 存在可逆矩阵C (|C|≠0), 使得A = C/C → |A| = |C/ ||C| = |C| 2＞0 . 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 / 1 2. 6 ( 1,2, , ) . ( , , ) 0. n i n i n n nn i i ii n a a a a a a a a a a a a A a a a a a a i n A f x x X AX A = = = 定义 矩阵 中的子 顺序主子式 式 称为矩阵 的 实二次型 正定 的顺序主子式 全大于 定理7 11 1 11 12 11 21 22 1 , , , , , k k kk a a a a a A a a a a