ntn定理1.（Abel定理）若幂级数ano在xxo点收敛,则对满足不等式|x|口xo阿贝尔NH的一切x幂级数都绝对收敛反之,若当xx。时该幂级数发散，则对满足不等式xxo的一切x，该幂级数也发散证：设anx 收敛，则必有lim_anx0,于是存在nnon常数M>0,使M(n□1.2,口）anxo收敛发散发散x发散收敛HIGH EDUCATION PRESS阿贝尔目录上页返回下贝结束
发 散 收 敛 发 散 收敛 发散 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使 阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束
nn七2xan|中兰MxnnxnXXo口ntn一收敛,当xxo|时，M口也收敛，a,Xonono故原幂级数绝对收敛反之，若当xxo时该幂级数发散，下面用反证法证之假设有一点 x,满足|xi|口xo「且使级数收敛，则由前面的证明可知，级数在点x。也应收敛，与所设矛盾故假设不真．所以若当x口xo时幂级数发散，则对一切证毕满足不等式|x口xo|的x，原幂级数也发散HIGHEDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束
当 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 满足不等式 所以若当 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束
L的收敛域是以原点为lanxn由Abel定理可以看出，口no中心的区间用±R表示幂级数收敛与发散的分界点，则R=0 时,幂级数仅在 x=0 收敛 ;R= 时,幂级数在（一8,+)收敛:OR□，幂级数在（一R,R）收敛；在『一R,R外发散：在xR可能收敛也可能发散R称为收敛半径，（一R,R）称为收敛区间（一R，R）加上收敛的端点称为收敛域收敛发散发散x发散收敛OOHIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束
幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = 时, 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 外发散; 在 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 收 敛 发 散 收敛 发散 机动 目录 上页 下页 返回 结束
n定理2.若anx"的系数满足1口口，则limnnon1)当 时,R2)当 =0时R□;3)当 =时,R0anaxhanl证：limlim中x|xhhnonXnn1)若0,则根据比值审敛法可知:原级数收敛：当x1，即||时,当x|1，即|x|时，原级数发散HIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束
定理2. 若 的系数满足 证: 1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当 原级数收敛; 当 原级数发散. 即 时, 1) 当 ≠0 时, 2) 当 ＝0 时, 3) 当 ＝∞时, 即 时, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束